1. 問題の内容
関数 ()について、最大値と最小値をそれぞれ求める問題です。
2. 解き方の手順
まず、与えられた関数を平方完成します。
これで、この関数が上に凸な放物線であり、頂点の座標が であることがわかります。定義域は です。
(1) 最大値を求める
最大値は、軸 が定義域 のどこにあるかによって変わります。
場合分けをします。
(i) 、つまり のとき、定義域内で が増加するにつれて が減少するので、 で最大値をとります。
最大値は
(ii) 、つまり のとき、頂点が定義域内にあるので、 で最大値をとります。
最大値は
(iii) 、つまり のとき、定義域内で が増加するにつれて が減少するので、 で最大値をとります。
最大値は
(2) 最小値を求める
最小値についても同様に場合分けを行います。
(i) 、つまり のとき、軸が定義域の中央 () より左にあるので、 で最小値をとります。
最小値は
(ii) 、つまり のとき、軸が定義域の中央より右にあるので、で最小値をとります。
最小値は
(iii) 、つまり のとき、軸が定義域の右側にあるので、 で最小値をとります。
最小値は
3. 最終的な答え
(1) 最大値
のとき、
のとき、
のとき、
(2) 最小値
のとき、
のとき、