関数 $y = -x^2 + 4ax - a$ ($0 \le x \le 2$)について、最大値と最小値をそれぞれ求める問題です。

代数学二次関数最大値最小値平方完成場合分け
2025/7/15

1. 問題の内容

関数 y=x2+4axay = -x^2 + 4ax - a0x20 \le x \le 2)について、最大値と最小値をそれぞれ求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成します。
y=(x24ax)ay = -(x^2 - 4ax) - a
y=(x24ax+4a2)+4a2ay = -(x^2 - 4ax + 4a^2) + 4a^2 - a
y=(x2a)2+4a2ay = -(x - 2a)^2 + 4a^2 - a
これで、この関数が上に凸な放物線であり、頂点の座標が (2a,4a2a)(2a, 4a^2 - a) であることがわかります。定義域は 0x20 \le x \le 2 です。
(1) 最大値を求める
最大値は、軸 x=2ax = 2a が定義域 0x20 \le x \le 2 のどこにあるかによって変わります。
場合分けをします。
(i) 2a<02a < 0、つまり a<0a < 0 のとき、定義域内で xx が増加するにつれて yy が減少するので、x=0x = 0 で最大値をとります。
最大値は y(0)=02+4a(0)a=ay(0) = -0^2 + 4a(0) - a = -a
(ii) 02a20 \le 2a \le 2、つまり 0a10 \le a \le 1 のとき、頂点が定義域内にあるので、x=2ax = 2a で最大値をとります。
最大値は y(2a)=4a2ay(2a) = 4a^2 - a
(iii) 2<2a2 < 2a、つまり 1<a1 < a のとき、定義域内で xx が増加するにつれて yy が減少するので、x=2x = 2 で最大値をとります。
最大値は y(2)=22+4a(2)a=4+8aa=7a4y(2) = -2^2 + 4a(2) - a = -4 + 8a - a = 7a - 4
(2) 最小値を求める
最小値についても同様に場合分けを行います。
(i) 2a12a \le 1、つまり a12a \le \frac{1}{2} のとき、軸が定義域の中央 (x=1x=1) より左にあるので、x=2x = 2 で最小値をとります。
最小値は y(2)=7a4y(2) = 7a - 4
(ii) 1<2a<21 < 2a < 2、つまり 12<a<1\frac{1}{2} < a < 1 のとき、軸が定義域の中央より右にあるので、x=0x=0で最小値をとります。
最小値はy(0)=ay(0)=-a
(iii) 2a22a \ge 2、つまり a1a \ge 1 のとき、軸が定義域の右側にあるので、x=0x = 0 で最小値をとります。
最小値は y(0)=ay(0) = -a

3. 最終的な答え

(1) 最大値
a<0a < 0 のとき、a-a
0a10 \le a \le 1 のとき、4a2a4a^2 - a
1<a1 < a のとき、7a47a - 4
(2) 最小値
a12a \le \frac{1}{2} のとき、7a47a - 4
a>12a > \frac{1}{2} のとき、a-a

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