与えられた置換の積を計算する問題です。具体的には、 (1) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ (2) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ (3) $(1 \ 3)(2 \ 3)(2 \ 4)$ (4) $(1 \ 4)(2 \ 3)(1 \ 2 \ 4 \ 3)(2 \ 3)$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた置換の積を計算する問題です。具体的には、

(1) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

(3) $(1 \ 3)(2 \ 3)(2 \ 4)$

(4) $(1 \ 4)(2 \ 3)(1 \ 2 \ 4 \ 3)(2 \ 3)$

を計算します。

2. 解き方の手順

置換の積は、右側の置換から順に適用していきます。

(1)

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

1は右の置換で3に写り、左の置換で2に写る。よって1は2に写る。

2は右の置換で1に写り、左の置換で3に写る。よって2は3に写る。

3は右の置換で2に写り、左の置換で1に写る。よって3は1に写る。

したがって、$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$

(2)

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

1は右の置換で4に写り、左の置換で1に写る。よって1は1に写る。

2は右の置換で3に写り、左の置換で2に写る。よって2は2に写る。

3は右の置換で2に写り、左の置換で4に写る。よって3は4に写る。

4は右の置換で1に写り、左の置換で3に写る。よって4は3に写る。

したがって、$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \end{pmatrix}$

(3)

$(1 \ 3)(2 \ 3)(2 \ 4)$

4は右の置換で2に写り、次の置換で3に写り、次の置換で1に写る。よって4は1に写る。

3は右の置換で3に写り、次の置換で2に写り、次の置換で2に写る。よって3は2に写る。

2は右の置換で4に写り、次の置換で4に写り、次の置換で4に写る。よって2は4に写る。

1は右の置換で1に写り、次の置換で1に写り、次の置換で3に写る。よって1は3に写る。

したがって、$(1 \ 3 \ 2 \ 4)$

(4)

$(1 \ 4)(2 \ 3)(1 \ 2 \ 4 \ 3)(2 \ 3)$

3は右の置換で2に写り、次の置換で1に写り、次の置換で4に写り、次の置換で4に写る。よって3は4に写る。

4は右の置換で4に写り、次の置換で4に写り、次の置換で3に写り、次の置換で1に写る。よって4は1に写る。

2は右の置換で3に写り、次の置換で4に写り、次の置換で2に写り、次の置換で3に写る。よって2は3に写る。

1は右の置換で1に写り、次の置換で2に写り、次の置換で1に写り、次の置換で4に写る。よって1は2に写る。

したがって、$(1 \ 2 \ 3 \ 4)$

3. 最終的な答え

(1) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \end{pmatrix}$

(3) $(1 \ 3 \ 2 \ 4)$

(4) $(1 \ 2 \ 3 \ 4)$