(1) $x+y = 2\sqrt{6}$, $xy=5$ のとき、$x^3+y^3$ の値を求めよ。 (2) $x+y+z = -2$, $xy+yz+zx=-3$, $xyz = 3\sqrt{2}$ のとき、$x^2+y^2+z^2$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $x+y = 2\sqrt{6}$, $xy=5$ のとき、$x^3+y^3$ の値を求めよ。

(2) $x+y+z = -2$, $xy+yz+zx=-3$, $xyz = 3\sqrt{2}$ のとき、$x^2+y^2+z^2$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $x^3+y^3$ の値を求める。

$x^3+y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y)$ の公式を利用する。

$x+y = 2\sqrt{6}$, $xy = 5$ を代入する。

$x^3+y^3 = (2\sqrt{6})^3 - 3 \cdot 5 \cdot (2\sqrt{6})$

$x^3+y^3 = 8 \cdot 6\sqrt{6} - 30\sqrt{6}$

$x^3+y^3 = 48\sqrt{6} - 30\sqrt{6}$

$x^3+y^3 = 18\sqrt{6}$

(2) $x^2+y^2+z^2$ の値を求める。

$(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2 + 2(xy+yz+zx)$ の公式を利用する。

$x+y+z = -2$, $xy+yz+zx = -3$ を代入する。

$(-2)^2 = x^2+y^2+z^2 + 2(-3)$

$4 = x^2+y^2+z^2 - 6$

$x^2+y^2+z^2 = 4 + 6$

$x^2+y^2+z^2 = 10$

3. 最終的な答え

(1) $18\sqrt{6}$

(2) $10$