1. 問題の内容
与えられた置換を互換の積として表現し、各置換の符号を求めます。
2. 解き方の手順
置換を互換の積に分解する方法はいくつかありますが、ここでは隣接互換を使う方法を示します。置換の符号は、分解された互換の個数が偶数なら +1、奇数なら -1 です。
(1) (1 3 6 4)
これは巡回置換です。
(1 3 6 4) = (1 4)(1 6)(1 3)
互換の個数は3なので、符号は -1 です。
(2) (1 2 5 3 4)
これも巡回置換です。
(1 2 5 3 4) = (1 4)(1 3)(1 5)(1 2)
互換の個数は4なので、符号は +1 です。
(3) (2 4 6)
これも巡回置換です。
(2 4 6) = (2 6)(2 4)
互換の個数は2なので、符号は +1 です。
(4)
$\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\
3 & 7 & 4 & 1 & 2 & 5 & 6
\end{pmatrix}$
まず、巡回置換に分解します。
1 → 3 → 4 → 1
2 → 7 → 6 → 5 → 2
つまり、(1 3 4)(2 7 6 5) となります。
(1 3 4) = (1 4)(1 3)
(2 7 6 5) = (2 5)(2 6)(2 7)
したがって、
$\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\
3 & 7 & 4 & 1 & 2 & 5 & 6
\end{pmatrix}$ = (1 4)(1 3)(2 5)(2 6)(2 7)
互換の個数は5なので、符号は -1 です。
(5)
$\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\
3 & 4 & 1 & 9 & 8 & 6 & 5 & 7 & 2
\end{pmatrix}$
まず、巡回置換に分解します。
1 → 3 → 1
2 → 4 → 9 → 2
5 → 8 → 7 → 5
6 → 6
つまり、(1 3)(2 4 9)(5 8 7) となります。
(1 3) は互換
(2 4 9) = (2 9)(2 4)
(5 8 7) = (5 7)(5 8)
したがって、
$\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\
3 & 4 & 1 & 9 & 8 & 6 & 5 & 7 & 2
\end{pmatrix}$ = (1 3)(2 9)(2 4)(5 7)(5 8)
互換の個数は5なので、符号は -1 です。
3. 最終的な答え
(1) (1 4)(1 6)(1 3), 符号: -1
(2) (1 4)(1 3)(1 5)(1 2), 符号: +1
(3) (2 6)(2 4), 符号: +1
(4) (1 4)(1 3)(2 5)(2 6)(2 7), 符号: -1
(5) (1 3)(2 9)(2 4)(5 7)(5 8), 符号: -1