与えられた置換を巡回置換の積に分解する問題です。問題は(1)と(2)の2つあります。 (1) $ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 4 & 7 & 6 & 5 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} $ (2) $ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 3 & 1 & 5 & 8 & 2 & 4 & 6 & 7 \end{pmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた置換を巡回置換の積に分解する問題です。問題は(1)と(2)の2つあります。

(1)

$$

\begin{pmatrix}

1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\

4 & 7 & 6 & 5 & 1 & 2 & 3

\end{pmatrix}

$$

(2)

$$

\begin{pmatrix}

1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\

3 & 1 & 5 & 8 & 2 & 4 & 6 & 7

\end{pmatrix}

$$

2. 解き方の手順

巡回置換は、ある要素から始まり、その要素が移る先の要素、さらにその要素が移る先の要素、...と順にたどっていき、最終的に最初の要素に戻るような置換のことです。

与えられた置換を巡回置換の積で表すには、まず、適当な要素から始めて巡回置換を作り、残りの要素で同様の操作を繰り返します。互いに共通の要素を持たない巡回置換の積で表現できます。

(1)

1 -> 4 -> 5 -> 1 より (1 4 5)

2 -> 7 -> 3 -> 6 -> 2 より (2 7 3 6)

したがって、(1 4 5)(2 7 3 6)

(2)

1 -> 3 -> 5 -> 2 -> 1 より (1 3 5 2)

4 -> 8 -> 7 -> 6 -> 4 より (4 8 7 6)

したがって、(1 3 5 2)(4 8 7 6)

3. 最終的な答え

(1) (1 4 5)(2 7 3 6)

(2) (1 3 5 2)(4 8 7 6)