放物線 $y = -2x^2 + 5x$ を平行移動した曲線で、点 $(1, -3)$ を通り、頂点が放物線 $y = x^2 + 4$ 上にある放物線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

放物線 $y = -2x^2 + 5x$ を平行移動した曲線で、点 $(1, -3)$ を通り、頂点が放物線 $y = x^2 + 4$ 上にある放物線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、放物線 $y = -2x^2 + 5x$ を平行移動した放物線の方程式を考えます。平行移動なので、$x^2$ の係数は変わりません。したがって、求める放物線の方程式は、

$y = -2(x - p)^2 + q$

と表すことができます。ここで、$(p, q)$ は頂点の座標です。

問題文より、頂点は放物線 $y = x^2 + 4$ 上にあるので、

$q = p^2 + 4$

が成り立ちます。

したがって、求める放物線の方程式は、

$y = -2(x - p)^2 + p^2 + 4$

となります。

この放物線が点 $(1, -3)$ を通るので、$x = 1, y = -3$ を代入すると、

$-3 = -2(1 - p)^2 + p^2 + 4$

$-3 = -2(1 - 2p + p^2) + p^2 + 4$

$-3 = -2 + 4p - 2p^2 + p^2 + 4$

$0 = -p^2 + 4p + 5$

$p^2 - 4p - 5 = 0$

$(p - 5)(p + 1) = 0$

$p = 5, -1$

(i) $p = 5$ のとき、 $q = p^2 + 4 = 5^2 + 4 = 29$。したがって、放物線の方程式は $y = -2(x - 5)^2 + 29$。展開すると、

$y = -2(x^2 - 10x + 25) + 29$

$y = -2x^2 + 20x - 50 + 29$

$y = -2x^2 + 20x - 21$

(ii) $p = -1$ のとき、$q = p^2 + 4 = (-1)^2 + 4 = 5$。したがって、放物線の方程式は $y = -2(x + 1)^2 + 5$。展開すると、

$y = -2(x^2 + 2x + 1) + 5$

$y = -2x^2 - 4x - 2 + 5$

$y = -2x^2 - 4x + 3$

3. 最終的な答え

$y = -2x^2 + 20x - 21$ または $y = -2x^2 - 4x + 3$