$f(0) = 1$ であり、$f(x^2)$ が $f(x)$ で割り切れるような2次式 $f(x)$ をすべて求める問題です。

1. 問題の内容

$f(0) = 1$ であり、$f(x^2)$ が $f(x)$ で割り切れるような2次式 $f(x)$ をすべて求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を2次式として $f(x) = ax^2 + bx + c$ と置きます。

条件 $f(0) = 1$ より、$c = 1$ なので、$f(x) = ax^2 + bx + 1$ となります。

次に、$f(x^2) = a(x^2)^2 + b(x^2) + 1 = ax^4 + bx^2 + 1$ となります。

$f(x^2)$ が $f(x)$ で割り切れるので、ある1次式 $qx + r$ が存在して、$f(x^2) = f(x)(qx + r)$ となります。

すなわち、$ax^4 + bx^2 + 1 = (ax^2 + bx + 1)(qx + r)$ が成り立ちます。

右辺を展開すると、$ax^4 + bx^2 + 1 = aqx^3 + arx^2 + bqx^2 + brx + qx + r = aqx^3 + (ar + bq)x^2 + (br + q)x + r$ となります。

両辺の係数を比較すると以下の式が得られます。

$x^3$の係数： $aq = 0$

$x^2$の係数： $ar + bq = b$

$x$の係数： $br + q = 0$

定数項： $r = 1$

$r = 1$ を代入すると、

$aq = 0$

$a + bq = b$

$b + q = 0$

となります。

場合分けをします。

(1) $a = 0$ の場合:

$f(x) = bx + 1$ となり、これは2次式ではないので不適。

(2) $a \neq 0$ の場合:

$aq = 0$ より、$q = 0$。

$b + q = 0$ より、$b = 0$。

したがって、$f(x) = ax^2 + 1$ となります。

このとき、$f(x^2) = ax^4 + 1$ であり、$f(x^2) = (ax^2+1)(qx+r)$ で、$q = 0$, $r = 1$ なので、$ax^4 + 1 = (ax^2+1)(1) = ax^2+1$。これは $x$ に関する恒等式ではないので矛盾が生じます。

このとき、$a \neq 0$ であれば、$f(x) = ax^2 + 1$が、$f(x^2) = a(x^2)^2 + 1 = ax^4 + 1$ を割り切ることはないです。

$ax^4+1 = (ax^2+1)(cx^2+d)$ とすると、$cx^2=x^2$とdは定数項で1なので、$ax^4+1 = ax^4+cx^2+d$となり$c=d=0$となり矛盾します。

$aq=0, a+bq = b, b+q = 0$から、$q=-b$

これを$a+bq=b$に代入すると、$a - b^2 = b$

$f(x^2) = f(x)g(x)$ で $g(x)$ は2次式になるはずだから、矛盾。

再度検討すると、$f(x) = ax^2 + bx + 1$ なので、$f(1) = a + b + 1$、$f(-1) = a - b + 1$

$f(x^2)$が$f(x)$で割り切れるので、$f(x)$の解を$\alpha$とすると、$f(\alpha) = 0$、$f(\alpha^2) = 0$が成り立つ。

$f(\alpha) = 0$から、$a\alpha^2 + b\alpha + 1 = 0$

$f(\alpha^2) = 0$から、$a\alpha^4 + b\alpha^2 + 1 = 0$

$\alpha^2 = \frac{-b\alpha -1}{a}$なので、$a(\frac{-b\alpha -1}{a})^2 + b(\frac{-b\alpha -1}{a}) + 1 = 0$

$\frac{b^2\alpha^2+2b\alpha+1}{a}-\frac{b^2\alpha+b}{a} + 1 = 0$

$b^2\alpha^2+2b\alpha+1-b^2\alpha-b+a = 0$

$b^2\alpha^2 + (2b-b^2)\alpha + 1-b+a=0$

$f(x) = x^2 - x + 1$ とすると、$f(0) = 1$。

$f(x^2) = x^4 - x^2 + 1$

$f(x^2) / f(x) = \frac{x^4-x^2+1}{x^2-x+1} = x^2+x+1$

3. 最終的な答え

$f(x) = x^2 + x + 1$

$f(x) = x^2 - x + 1$