次の数列の初項から第 $n$ 項までの和を求める問題です。 (1) $2^2, 4^2, 6^2, 8^2, 10^2, \dots$ (2) $2 \cdot 5, 3 \cdot 3, 4 \cdot 1, 5 \cdot (-1), \dots$

1. 問題の内容

次の数列の初項から第 $n$ 項までの和を求める問題です。

(1) $2^2, 4^2, 6^2, 8^2, 10^2, \dots$

(2) $2 \cdot 5, 3 \cdot 3, 4 \cdot 1, 5 \cdot (-1), \dots$

2. 解き方の手順

(1) 第 $n$ 項は $(2n)^2 = 4n^2$ である。

したがって、初項から第 $n$ 項までの和は

$\sum_{k=1}^{n} 4k^2 = 4 \sum_{k=1}^{n} k^2 = 4 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{2}{3} n(n+1)(2n+1)$

(2) 第 $n$ 項を求める。

$a_n = (n+1)(7-2n) = -2n^2 + 5n + 7$

したがって、初項から第 $n$ 項までの和は

$\sum_{k=1}^{n} (-2k^2 + 5k + 7) = -2 \sum_{k=1}^{n} k^2 + 5 \sum_{k=1}^{n} k + 7 \sum_{k=1}^{n} 1$

$= -2 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 5 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + 7n$

$= \frac{n}{6} \left( -2(n+1)(2n+1) + 15(n+1) + 42 \right)$

$= \frac{n}{6} \left( -2(2n^2 + 3n + 1) + 15n + 15 + 42 \right)$

$= \frac{n}{6} \left( -4n^2 - 6n - 2 + 15n + 57 \right)$

$= \frac{n}{6} \left( -4n^2 + 9n + 55 \right)$

$= - \frac{n}{6} \left( 4n^2 - 9n - 55 \right)$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2}{3} n(n+1)(2n+1)$

(2) $-\frac{1}{6} n(4n^2 - 9n - 55)$