問題7は、$x = -1 + \sqrt{2}i$のとき、以下の2つの問いに答えるものです。 (1) $x^2 + 2x + 3 = 0$ であることを示す。 (2) (1)の結果を用いて、$x^3 + 6x^2 + 8x + 7$ の値を求める。

1. 問題の内容

問題7は、$x = -1 + \sqrt{2}i$のとき、以下の2つの問いに答えるものです。

(1) $x^2 + 2x + 3 = 0$ であることを示す。

(2) (1)の結果を用いて、$x^3 + 6x^2 + 8x + 7$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $x = -1 + \sqrt{2}i$ を $x^2 + 2x + 3$ に代入し、計算結果が0になることを示す。

$x^2 = (-1 + \sqrt{2}i)^2 = (-1)^2 + 2(-1)(\sqrt{2}i) + (\sqrt{2}i)^2 = 1 - 2\sqrt{2}i - 2 = -1 - 2\sqrt{2}i$

$x^2 + 2x + 3 = (-1 - 2\sqrt{2}i) + 2(-1 + \sqrt{2}i) + 3 = -1 - 2\sqrt{2}i - 2 + 2\sqrt{2}i + 3 = -3 + 3 = 0$

したがって、$x^2 + 2x + 3 = 0$ であることが示された。

(2) $x^3 + 6x^2 + 8x + 7$ を $x^2 + 2x + 3$ で割ることを考える。

割り算を行うと、以下のようになります。

$x^3 + 6x^2 + 8x + 7 = (x^2 + 2x + 3)(x+4) -5$

(1)より、$x^2 + 2x + 3 = 0$ であるから、

$x^3 + 6x^2 + 8x + 7 = (0)(x+4) - 5 = -5$

3. 最終的な答え

(1) $x^2 + 2x + 3 = 0$

(2) $x^3 + 6x^2 + 8x + 7 = -5$