問題7は、$x = -1 + \sqrt{2}i$ が与えられたとき、以下の2つの問いに答える問題です。 (1) $x^2 + 2x + 3 = 0$ であることを示す。 (2) (1)の結果を用いて、$x^3 + 6x^2 + 8x + 7$ の値を求める。

1. 問題の内容

問題7は、$x = -1 + \sqrt{2}i$ が与えられたとき、以下の2つの問いに答える問題です。

(1) $x^2 + 2x + 3 = 0$ であることを示す。

(2) (1)の結果を用いて、$x^3 + 6x^2 + 8x + 7$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $x = -1 + \sqrt{2}i$ を $x^2 + 2x + 3$ に代入し、計算結果が0になることを示します。

$x^2 = (-1 + \sqrt{2}i)^2 = (-1)^2 + 2(-1)(\sqrt{2}i) + (\sqrt{2}i)^2 = 1 - 2\sqrt{2}i - 2 = -1 - 2\sqrt{2}i$

$x^2 + 2x + 3 = (-1 - 2\sqrt{2}i) + 2(-1 + \sqrt{2}i) + 3 = -1 - 2\sqrt{2}i - 2 + 2\sqrt{2}i + 3 = 0$

したがって、$x^2 + 2x + 3 = 0$ であることが示されました。

(2) $x^3 + 6x^2 + 8x + 7$ を、$x^2 + 2x + 3$ を用いて次数下げを行い、値を求めます。

$x^3 + 6x^2 + 8x + 7 = (x^2 + 2x + 3)(x + 4) - x - 5$

$x^2 + 2x + 3 = 0$ より、$x^3 + 6x^2 + 8x + 7 = -x - 5$

$x = -1 + \sqrt{2}i$ を代入すると、

$-x - 5 = -(-1 + \sqrt{2}i) - 5 = 1 - \sqrt{2}i - 5 = -4 - \sqrt{2}i$

3. 最終的な答え

(1) $x^2 + 2x + 3 = 0$ であることは示された。

(2) $x^3 + 6x^2 + 8x + 7 = -4 - \sqrt{2}i$