$\frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$ を計算し、簡単にしてください。

1. 問題の内容

$\frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$ を計算し、簡単にしてください。

2. 解き方の手順

分母を有理化するために、分母の共役な複素数 $\sqrt{3} + \sqrt{2}$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{(\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})}$

分母は $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ の形を利用して計算します。

$(\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2}) = (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 = 3 - 2 = 1$

分子は $(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2$ を展開します。

$(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 = (\sqrt{3})^2 + 2(\sqrt{3})(\sqrt{2}) + (\sqrt{2})^2 = 3 + 2\sqrt{6} + 2 = 5 + 2\sqrt{6}$

したがって、

$\frac{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{(\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})} = \frac{5 + 2\sqrt{6}}{1} = 5 + 2\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

$5 + 2\sqrt{6}$