2次関数 $y = 2x^2 - 4x + 7$ のグラフを、$x$軸方向に $a$ だけ平行移動し、さらに、$y$軸方向に $b$ だけ平行移動すると、2次関数 $y = 2x^2 + 8x + 17$ のグラフとなる。$a$と$b$の値を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $y = 2x^2 - 4x + 7$ のグラフを、$x$軸方向に $a$ だけ平行移動し、さらに、$y$軸方向に $b$ だけ平行移動すると、2次関数 $y = 2x^2 + 8x + 17$ のグラフとなる。$a$と$b$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$y = 2x^2 - 4x + 7$ を平方完成する。

$y = 2(x^2 - 2x) + 7$

$y = 2(x^2 - 2x + 1 - 1) + 7$

$y = 2((x-1)^2 - 1) + 7$

$y = 2(x-1)^2 - 2 + 7$

$y = 2(x-1)^2 + 5$

次に、$y = 2x^2 + 8x + 17$ を平方完成する。

$y = 2(x^2 + 4x) + 17$

$y = 2(x^2 + 4x + 4 - 4) + 17$

$y = 2((x+2)^2 - 4) + 17$

$y = 2(x+2)^2 - 8 + 17$

$y = 2(x+2)^2 + 9$

$y = 2(x-1)^2 + 5$ を $x$ 軸方向に $a$, $y$ 軸方向に $b$ だけ平行移動すると、

$y - b = 2(x-a-1)^2 + 5$

$y = 2(x - (a+1))^2 + 5 + b$

これが、$y = 2(x+2)^2 + 9$ と一致するので、

$a+1 = -2$

$a = -3$

$5 + b = 9$

$b = 4$

よって、$x$軸方向に $-3$ だけ、$y$軸方向に $4$ だけ平行移動することになる。

3. 最終的な答え

$x$軸方向に $-3$、$y$軸方向に $4$