(2) $y=f(x)$ のグラフを $x$ 軸方向に $s$, $y$ 軸方向に $-5$ だけ平行移動した放物線をグラフとする 2 次関数を $y=g(x)$ とおく。 (i) このとき、$g(x) = 3x^2 + (18 - \text{カ}s)x + \text{キ}(s^2 - \text{ク}s + \text{ケ})$ である。 (ii) 2 次方程式 $g(x) = 0$ が正の解と負の解を一つずつもつような定数 $s$ の値の範囲を求める。 (3) $t$ を定数とし、$y=f(x)$ のグラフを $x$ 軸方向に $t$, $y$ 軸方向に $t^2 - 6t$ だけ平行移動した放物線をグラフとする 2 次関数を $y=h(x)$ とおく。2 次方程式 $h(x) = 0$ が異なる二つの正の解をもつような定数 $t$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

(2) $y=f(x)$ のグラフを $x$ 軸方向に $s$, $y$ 軸方向に $-5$ だけ平行移動した放物線をグラフとする 2 次関数を $y=g(x)$ とおく。

(i) このとき、$g(x) = 3x^2 + (18 - \text{カ}s)x + \text{キ}(s^2 - \text{ク}s + \text{ケ})$ である。

(ii) 2 次方程式 $g(x) = 0$ が正の解と負の解を一つずつもつような定数 $s$ の値の範囲を求める。

(3) $t$ を定数とし、$y=f(x)$ のグラフを $x$ 軸方向に $t$, $y$ 軸方向に $t^2 - 6t$ だけ平行移動した放物線をグラフとする 2 次関数を $y=h(x)$ とおく。2 次方程式 $h(x) = 0$ が異なる二つの正の解をもつような定数 $t$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(2) (i)

$y = 3(x+3)^2 - 7$ を $x$ 軸方向に $s$, $y$ 軸方向に $-5$ だけ平行移動すると

$y+5 = 3(x+3-s)^2 - 7$

$y = 3(x+3-s)^2 - 12$

$y = 3(x^2 + (6-2s)x + (3-s)^2) - 12$

$y = 3(x^2 + (6-2s)x + 9 - 6s + s^2) - 12$

$y = 3x^2 + 3(6-2s)x + 3(s^2 - 6s + 9) - 12$

$y = 3x^2 + (18-6s)x + (3s^2 - 18s + 27 - 12)$

$y = 3x^2 + (18-6s)x + (3s^2 - 18s + 15)$

したがって、

$g(x) = 3x^2 + (18-6s)x + (3s^2 - 18s + 15)$

カ: 6, キ: 3, ク: 6, ケ: 5

(ii) $g(x) = 0$ が正の解と負の解を一つずつもつとき、$g(0) < 0$ である。

$g(0) = 3s^2 - 18s + 15 < 0$

$s^2 - 6s + 5 < 0$

$(s-1)(s-5) < 0$

$1 < s < 5$

コ: 1, サ: 5

(3)

$y = 3(x+3)^2 - 7$ を $x$ 軸方向に $t$, $y$ 軸方向に $t^2 - 6t$ だけ平行移動すると

$y - (t^2 - 6t) = 3(x+3-t)^2 - 7$

$y = 3(x^2 + (6-2t)x + (3-t)^2) - 7 + t^2 - 6t$

$y = 3x^2 + 3(6-2t)x + 3(9-6t+t^2) - 7 + t^2 - 6t$

$h(x) = 3x^2 + (18-6t)x + 27 - 18t + 3t^2 - 7 + t^2 - 6t$

$h(x) = 3x^2 + (18-6t)x + 4t^2 - 24t + 20$

$h(x) = 0$ が異なる二つの正の解をもつとき、判別式 $D > 0$, 軸 $> 0$, $h(0) > 0$ を満たす。

$D/4 = (9-3t)^2 - 3(4t^2 - 24t + 20) > 0$

$81 - 54t + 9t^2 - 12t^2 + 72t - 60 > 0$

$-3t^2 + 18t + 21 > 0$

$t^2 - 6t - 7 < 0$

$(t-7)(t+1) < 0$

$-1 < t < 7$

軸: $x = -\frac{18-6t}{2(3)} = -\frac{18-6t}{6} = \frac{6t-18}{6} = t-3 > 0$

$t > 3$

$h(0) = 4t^2 - 24t + 20 > 0$

$t^2 - 6t + 5 > 0$

$(t-1)(t-5) > 0$

$t < 1$ または $t > 5$

よって、$3 < t < 7$ かつ $t > 5$ を満たす $t$ の範囲は $5 < t < 7$

シ: 5, ス: 7

3. 最終的な答え

(2)

カ: 6, キ: 3, ク: 6, ケ: 5

コ: 1, サ: 5

(3)

シ: 5, ス: 7