2次関数 $f(x) = x^2 - 2mx + m^2 - 4$ について、$-1 \le x \le 1$ の範囲で $f(x)$ が最大値0をとるとき、正の定数 $m$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = x^2 - 2mx + m^2 - 4$ について、$-1 \le x \le 1$ の範囲で $f(x)$ が最大値0をとるとき、正の定数 $m$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を平方完成する。

$f(x) = x^2 - 2mx + m^2 - 4 = (x-m)^2 - 4$

軸は $x=m$ である。$m$ は正の定数であるから、$m > 0$ である。

$-1 \le x \le 1$ における $f(x)$ の最大値が0となる場合を考える。

(i) $m \le 1$ のとき

$x=-1$ で最大値をとる。

$f(-1) = (-1-m)^2 - 4 = (1+m)^2 - 4 = m^2 + 2m + 1 - 4 = m^2 + 2m - 3 = 0$

$(m+3)(m-1) = 0$

$m = -3, 1$

$m > 0$ より $m = 1$

これは $m \le 1$ を満たす。

(ii) $m > 1$ のとき

$x=-1$ で最大値をとる。

$f(-1) = (-1-m)^2 - 4 = (1+m)^2 - 4 = m^2 + 2m + 1 - 4 = m^2 + 2m - 3 = 0$

$(m+3)(m-1) = 0$

$m = -3, 1$

$m > 1$ を満たすものは存在しない。

よって、$m=1$

3. 最終的な答え

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