この問題は、2次関数 $f(x) = x^2 - 2mx + m^2 - 4$ について、以下の3つの問いに答えるものです。 (1) $-1 \le x \le 1$ において、$f(x)$ が最大値0をとるときの $m$ の値を求めます。 (2) $y = x^2 - 4x + 1$ のグラフを $x$ 軸方向に1、$y$ 軸方向に-1だけ平行移動したものが $y = f(x)$ のグラフと一致するときの $m$ の値を求めます。 (3) (2)で求めた $m$ の値のとき、$0 \le x \le 2$ における $f(x)$ の値域を求めます。

1. 問題の内容

この問題は、2次関数 $f(x) = x^2 - 2mx + m^2 - 4$ について、以下の3つの問いに答えるものです。

(1) $-1 \le x \le 1$ において、$f(x)$ が最大値0をとるときの $m$ の値を求めます。

(2) $y = x^2 - 4x + 1$ のグラフを $x$ 軸方向に1、$y$ 軸方向に-1だけ平行移動したものが $y = f(x)$ のグラフと一致するときの $m$ の値を求めます。

(3) (2)で求めた $m$ の値のとき、$0 \le x \le 2$ における $f(x)$ の値域を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$f(x)$ を平方完成します。

$f(x) = (x - m)^2 - 4$

$f(x)$ は $x = m$ で最小値 $-4$ をとります。

$-1 \le x \le 1$ における $f(x)$ の最大値が0となるのは、次のいずれかの場合です。

(i) $m < -1$ のとき、$x = -1$ で最大値をとります。

$f(-1) = (-1 - m)^2 - 4 = 0$

$(m + 1)^2 = 4$

$m + 1 = \pm 2$

$m = 1$ または $m = -3$

$m < -1$ なので、$m = -3$

(ii) $m > 1$ のとき、$x = 1$ で最大値をとります。

$f(1) = (1 - m)^2 - 4 = 0$

$(m - 1)^2 = 4$

$m - 1 = \pm 2$

$m = 3$ または $m = -1$

$m > 1$ なので、$m = 3$

(iii) $-1 \le m \le 1$ のとき、$x = -1$ または $x=1$ で最大値をとるとは限らないので、この場合は考えません。

$m$ は正の定数なので、$m = 3$

(2)

$y = x^2 - 4x + 1$ を $x$ 軸方向に1、$y$ 軸方向に-1だけ平行移動すると、

$y + 1 = (x - 1)^2 - 4(x - 1) + 1$

$y = (x^2 - 2x + 1) - (4x - 4) + 1 - 1$

$y = x^2 - 6x + 5$

これが $y = f(x) = x^2 - 2mx + m^2 - 4$ と一致するので、

$-2m = -6$ かつ $m^2 - 4 = 5$

$m = 3$ かつ $m^2 = 9$

$m = 3$

(3)

$m = 3$ のとき、$f(x) = x^2 - 6x + 5 = (x - 3)^2 - 4$

$0 \le x \le 2$ における $f(x)$ の値域を求めます。

$x = 0$ のとき、$f(0) = 5$

$x = 2$ のとき、$f(2) = 4 - 12 + 5 = -3$

軸 $x = 3$ は $0 \le x \le 2$ に含まれないので、頂点の値は考慮しません。

したがって、$f(x)$ の最小値は $-3$ で、最大値は $5$ です。

$-3 \le f(x) \le 5$

3. 最終的な答え

(1) $m = 3$

(2) $m = 3$

(3) $-3 \le f(x) \le 5$

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56: 3

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