与えられた3x3行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。 $ \begin{vmatrix} b+c & a-c & a-b \\ b-c & c+a & b-a \\ c-b & c-a & a+b \end{vmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた3x3行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。

$\begin{vmatrix} b+c & a-c & a-b \\ b-c & c+a & b-a \\ c-b & c-a & a+b \end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、以下の操作を行います。

1. 1行目に2行目を足す。

2. 1行目に3行目を足す。

3. 行列式を展開する。

まず、1行目に2行目を足します。

$\begin{vmatrix} 2b & a+c & a-a \\ b-c & c+a & b-a \\ c-b & c-a & a+b \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2b & a+c & 0 \\ b-c & c+a & b-a \\ c-b & c-a & a+b \end{vmatrix}$

次に、1行目に3行目を足します。

$\begin{vmatrix} 2b + c - b & a+c + c-a & 0+a+b \\ b-c & c+a & b-a \\ c-b & c-a & a+b \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} b+c & 2c & a+b \\ b-c & c+a & b-a \\ c-b & c-a & a+b \end{vmatrix}$

元の問題に誤りがあった可能性があります。最初の操作として、第1列に第2列と第3列を足すという操作を試します。

$\begin{vmatrix} b+c+a-c+a-b & a-c & a-b \\ b-c+c+a+b-a & c+a & b-a \\ c-b+c-a+a+b & c-a & a+b \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2a & a-c & a-b \\ 2b & c+a & b-a \\ 2c & c-a & a+b \end{vmatrix}$

この行列式は以下のように展開できます。

$2a[(c+a)(a+b) - (b-a)(c-a)] - 2b[(a-c)(a+b) - (a-b)(c-a)] + 2c[(a-c)(b-a) - (c+a)(a-b)]$

$=2a[ac + bc + a^2 + ab - (bc - ab - ac + a^2)] - 2b[a^2+ab - ac -bc - (ac - a^2 - bc + ab)] + 2c[ab - a^2 - bc + ac - (ac-bc+a^2-ab)]$

$=2a[ac + bc + a^2 + ab - bc + ab + ac - a^2] - 2b[a^2+ab - ac -bc - ac + a^2 + bc - ab] + 2c[ab - a^2 - bc + ac - ac+bc-a^2+ab]$

$=2a[2ac + 2ab] - 2b[2a^2 - 2ac] + 2c[2ab - 2a^2]$

$=4a^2c + 4a^2b - 4a^2b + 4abc + 4abc - 4a^2c$

$=8abc$

3. 最終的な答え

$8abc$