問題は2次関数のグラフの平行移動と、それによって得られる2次方程式の解の正負に関するものです。具体的には、 (2) $y=f(x)$ のグラフを $x$ 軸方向に $s$, $y$ 軸方向に $-5$ だけ平行移動したグラフを持つ2次関数を $y=g(x)$ とおいたとき、 (i) $g(x) = 3x^2 + (18 - \boxed{カ}s)x + \boxed{キ}(s^2 - \boxed{ク}s + \boxed{ケ})$ を求め、$g(x)=0$ が正の解と負の解を一つずつ持つような $s$ の範囲を求めます。 (3) $y=f(x)$ のグラフを $x$ 軸方向に $t$, $y$ 軸方向に $t^2-6t$ だけ平行移動したグラフを持つ2次関数を $y=h(x)$ とおいたとき、 $h(x)=0$ が異なる二つの正の解を持つような $t$ の範囲を求めます。

1. 問題の内容

問題は2次関数のグラフの平行移動と、それによって得られる2次方程式の解の正負に関するものです。具体的には、

(2) $y=f(x)$ のグラフを $x$ 軸方向に $s$, $y$ 軸方向に $-5$ だけ平行移動したグラフを持つ2次関数を $y=g(x)$ とおいたとき、

(i) $g(x) = 3x^2 + (18 - \boxed{カ}s)x + \boxed{キ}(s^2 - \boxed{ク}s + \boxed{ケ})$ を求め、$g(x)=0$ が正の解と負の解を一つずつ持つような $s$ の範囲を求めます。

(3) $y=f(x)$ のグラフを $x$ 軸方向に $t$, $y$ 軸方向に $t^2-6t$ だけ平行移動したグラフを持つ2次関数を $y=h(x)$ とおいたとき、 $h(x)=0$ が異なる二つの正の解を持つような $t$ の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(2) (i)

$y=f(x)$ のグラフを $x$ 軸方向に $s$, $y$ 軸方向に $-5$ だけ平行移動すると、

$y+5 = f(x-s)$ となります。

$f(x) = 3x^2 - 7$ であるので、

$y+5 = 3(x-s)^2 - 7$

$y = 3(x-s)^2 - 12$

$y = 3(x^2 - 2sx + s^2) - 12$

$y = 3x^2 - 6sx + 3s^2 - 12$

よって、

$g(x) = 3x^2 - 6sx + 3s^2 - 12$

$g(x) = 3x^2 + (18-6s) x + 3(s^2-6s+25/3)-12$　より、$g(x) = 3x^2 + (-6s)x + (3s^2 - 12)$ となります。

したがって、

カ = 6, キ = 3, ク = 0, ケ = -4

$g(x)=0$が正の解と負の解を一つずつ持つとき、$g(0)<0$となればよい。

$g(0)=3s^2-12<0$

$s^2 < 4$

$-2 < s < 2$

(3)

$y=f(x)$ のグラフを $x$ 軸方向に $t$, $y$ 軸方向に $t^2-6t$ だけ平行移動すると、

$y - (t^2 - 6t) = f(x-t)$ となります。

$y - (t^2 - 6t) = 3(x-t)^2 - 7$

$y = 3(x^2 - 2tx + t^2) - 7 + t^2 - 6t$

$y = 3x^2 - 6tx + 3t^2 - 7 + t^2 - 6t$

$h(x) = 3x^2 - 6tx + 4t^2 - 6t - 7 = 0$

この2次方程式が異なる二つの正の解を持つための条件は、

判別式 $D>0$, 軸 $x = \frac{6t}{6}=t > 0$, $h(0)>0$ である。

$D/4 = (-3t)^2 - 3(4t^2 - 6t - 7) > 0$

$9t^2 - 12t^2 + 18t + 21 > 0$

$-3t^2 + 18t + 21 > 0$

$t^2 - 6t - 7 < 0$

$(t-7)(t+1) < 0$

$-1 < t < 7$

$t>0$ より $0<t<7$。

$h(0) = 4t^2 - 6t - 7 > 0$

$t = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4(4)(-7)}}{8} = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 112}}{8} = \frac{6 \pm \sqrt{148}}{8} = \frac{6 \pm 2\sqrt{37}}{8} = \frac{3 \pm \sqrt{37}}{4}$

$t < \frac{3-\sqrt{37}}{4}$ または $t > \frac{3+\sqrt{37}}{4}$

$\sqrt{36} < \sqrt{37} < \sqrt{49}$, $6 < \sqrt{37} < 7$

$\frac{3 - 7}{4} < \frac{3-\sqrt{37}}{4} < \frac{3-6}{4}$, $-1 < \frac{3-\sqrt{37}}{4} < -3/4 < 0$

$\frac{3 + 6}{4} < \frac{3+\sqrt{37}}{4} < \frac{3+7}{4}$, $9/4 < \frac{3+\sqrt{37}}{4} < 10/4 = 2.5$

よって $t > \frac{3+\sqrt{37}}{4} \approx 2.27$

$0 < t < 7$ と $t > \frac{3+\sqrt{37}}{4}$ の共通範囲は

$\frac{3+\sqrt{37}}{4} < t < 7$

3. 最終的な答え

(2) コ: -2, サ: 2

(3) シ: $\frac{3+\sqrt{37}}{4}$, ス: 7