与えられた問題は以下の通りです。 (1) 放物線 $y = x^2 - 2x + 1$ を $x$ 軸方向に $-2$, $y$ 軸方向に $3$ だけ平行移動した放物線の方程式を求めよ。 (2) 放物線 $y = x^2 - 2x + 1$ を $y$ 軸に関して対称移動した放物線の方程式を求めよ。 (3) 頂点が $(2, 6)$ をとり、点 $(4, -2)$ を通る放物線の方程式を求めよ。 (4) 3点 $(-1, 0), (3, 0), (0, 6)$ を通る放物線の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた問題は以下の通りです。

(1) 放物線 $y = x^2 - 2x + 1$ を $x$ 軸方向に $-2$, $y$ 軸方向に $3$ だけ平行移動した放物線の方程式を求めよ。

(2) 放物線 $y = x^2 - 2x + 1$ を $y$ 軸に関して対称移動した放物線の方程式を求めよ。

(3) 頂点が $(2, 6)$ をとり、点 $(4, -2)$ を通る放物線の方程式を求めよ。

(4) 3点 $(-1, 0), (3, 0), (0, 6)$ を通る放物線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 平行移動

$x$ 軸方向に $-2$ だけ平行移動するには $x$ を $x + 2$ で置き換え、$y$ 軸方向に $3$ だけ平行移動するには $y$ を $y - 3$ で置き換えます。

したがって、求める放物線の方程式は

$y - 3 = (x + 2)^2 - 2(x + 2) + 1$

$y = (x^2 + 4x + 4) - 2x - 4 + 1 + 3$

$y = x^2 + 2x + 4$

(2) $y$ 軸に関する対称移動

$y$ 軸に関して対称移動するには、$x$ を $-x$ で置き換えます。

したがって、求める放物線の方程式は

$y = (-x)^2 - 2(-x) + 1$

$y = x^2 + 2x + 1$

(3) 頂点が $(2, 6)$ をとり、点 $(4, -2)$ を通る放物線

頂点が $(2, 6)$ であるから、放物線の方程式は

$y = a(x - 2)^2 + 6$ と表せます。

点 $(4, -2)$ を通るから、これを代入すると

$-2 = a(4 - 2)^2 + 6$

$-2 = 4a + 6$

$4a = -8$

$a = -2$

したがって、求める放物線の方程式は

$y = -2(x - 2)^2 + 6$

$y = -2(x^2 - 4x + 4) + 6$

$y = -2x^2 + 8x - 8 + 6$

$y = -2x^2 + 8x - 2$

(4) 3点 $(-1, 0), (3, 0), (0, 6)$ を通る放物線

放物線の方程式を $y = ax^2 + bx + c$ とおきます。

3点 $(-1, 0), (3, 0), (0, 6)$ を通るから、それぞれ代入すると

$a - b + c = 0$

$9a + 3b + c = 0$

$c = 6$

したがって、

$a - b + 6 = 0$

$9a + 3b + 6 = 0$

$a - b = -6$

$3a + b = -2$

これらの式を足し合わせると

$4a = -8$

$a = -2$

$a - b = -6$ に代入して

$-2 - b = -6$

$b = 4$

したがって、求める放物線の方程式は

$y = -2x^2 + 4x + 6$

3. 最終的な答え

(1) $y = x^2 + 2x + 4$

(2) $y = x^2 + 2x + 1$

(3) $y = -2x^2 + 8x - 2$

(4) $y = -2x^2 + 4x + 6$