3つの漸化式で定義された数列の一般項を求める問題です。 (1) $a_1 = 0$, $a_{n+1} = 3a_n + 4$ (n ≥ 1) (2) $a_1 = 7$, $a_{n+1} = 2a_n + 9^n$ (n ≥ 1) (3) $a_1 = 6$, $a_{n+1} = 2a_n - n^2 + 6n - 7$ (n ≥ 1)

1. 問題の内容

3つの漸化式で定義された数列の一般項を求める問題です。

(1) $a_1 = 0$, $a_{n+1} = 3a_n + 4$ (n ≥ 1)

(2) $a_1 = 7$, $a_{n+1} = 2a_n + 9^n$ (n ≥ 1)

(3) $a_1 = 6$, $a_{n+1} = 2a_n - n^2 + 6n - 7$ (n ≥ 1)

2. 解き方の手順

(1) $a_{n+1} = 3a_n + 4$ を解く。特性方程式 $x = 3x + 4$ を解くと $x = -2$。

したがって、$a_{n+1} + 2 = 3(a_n + 2)$。

$b_n = a_n + 2$ とおくと、$b_{n+1} = 3b_n$。$b_1 = a_1 + 2 = 0 + 2 = 2$。

数列 {$b_n$} は初項 2, 公比 3 の等比数列だから、$b_n = 2 \cdot 3^{n-1}$。

したがって、$a_n = b_n - 2 = 2 \cdot 3^{n-1} - 2$。

(2) $a_{n+1} = 2a_n + 9^n$ を解く。両辺を $2^{n+1}$ で割ると、$\frac{a_{n+1}}{2^{n+1}} = \frac{a_n}{2^n} + \frac{9^n}{2^{n+1}}$。

$b_n = \frac{a_n}{2^n}$ とおくと、$b_{n+1} = b_n + \frac{9^n}{2^{n+1}}$。

$b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{9^k}{2^{k+1}} = \frac{a_1}{2} + \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n-1} (\frac{9}{2})^k$。

$a_1 = 7$ なので、$b_n = \frac{7}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{9}{2} ((\frac{9}{2})^{n-1} - 1)}{\frac{9}{2} - 1} = \frac{7}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{9}{2} ((\frac{9}{2})^{n-1} - 1)}{\frac{7}{2}} = \frac{7}{2} + \frac{9}{14} ((\frac{9}{2})^{n-1} - 1)$

$b_n = \frac{7}{2} + \frac{9}{14} (\frac{9}{2})^{n-1} - \frac{9}{14} = \frac{49}{14} - \frac{9}{14} + \frac{9}{14} (\frac{9}{2})^{n-1} = \frac{40}{14} + \frac{9}{14} (\frac{9}{2})^{n-1} = \frac{20}{7} + \frac{9}{14} \cdot \frac{9^{n-1}}{2^{n-1}}$。

$a_n = 2^n b_n = 2^n (\frac{20}{7} + \frac{9}{14} \cdot \frac{9^{n-1}}{2^{n-1}}) = \frac{20}{7} \cdot 2^n + \frac{9}{14} \cdot 9^{n-1} \cdot 2 = \frac{20 \cdot 2^n}{7} + \frac{9^n}{7}$

$a_n = \frac{20 \cdot 2^n + 9^n}{7} = \frac{5 \cdot 2^{n+2} + 9^n}{7}$.

(3) $a_{n+1} = 2a_n - n^2 + 6n - 7$ を解く。

$a_n = A n^2 + Bn + C$ と仮定する。

$a_{n+1} = A(n+1)^2 + B(n+1) + C = A(n^2 + 2n + 1) + B(n+1) + C = An^2 + 2An + A + Bn + B + C$

$a_{n+1} = 2a_n - n^2 + 6n - 7$ に代入する。

$An^2 + 2An + A + Bn + B + C = 2(An^2 + Bn + C) - n^2 + 6n - 7$

$An^2 + 2An + A + Bn + B + C = 2An^2 + 2Bn + 2C - n^2 + 6n - 7$

$(A+1)n^2 + (2A + B - 6)n + (A + B + C + 7 - 2C) = 0$

$A + 1 = 0 \implies A = -1$

$2A + B - 6 = 0 \implies -2 + B - 6 = 0 \implies B = 8$

$A + B + C + 7 - 2C = 0 \implies -1 + 8 + C + 7 - 2C = 0 \implies -C + 14 = 0 \implies C = 14$

よって $a_n = -n^2 + 8n + 14$.

$a_1 = -1 + 8 + 14 = 21 \neq 6$.

$b_n = a_n - (-n^2+8n+14)$ とおくと

$b_{n+1} = a_{n+1} - (-(n+1)^2 + 8(n+1) + 14)$

$b_{n+1} = 2a_n - n^2 + 6n - 7 - (-n^2 -2n - 1 + 8n + 8 + 14)$

$b_{n+1} = 2a_n - n^2 + 6n - 7 + n^2 -6n -21 = 2a_n - 28 = 2(b_n - (-n^2 + 8n + 14)) - 28 = 2b_n + 2n^2 -16n -28 - 28 = 2b_n$

$b_{n+1} = 2b_n$

よって $b_n = b_1 2^{n-1}$.

$b_1 = a_1 - (-1^2 + 8\cdot1 + 14) = 6 - 21 = -15$

$b_n = -15 \cdot 2^{n-1}$.

$a_n = b_n -n^2 + 8n + 14 = -15 \cdot 2^{n-1} -n^2 + 8n - 14$.

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 2 \cdot 3^{n-1} - 2$

(2) $a_n = \frac{5 \cdot 2^{n+2} + 9^n}{7}$

(3) $a_n = -15 \cdot 2^{n-1} -n^2 + 8n - 14$

したがって答えは

(1) 1: 2, 2: 3, 3: 2

(2) 4: 5, 5: 9^n, 6: 7

(3) 7: -15, 8: 2, 9: 8, 10: -14