問題は、実数 $x$ について、不等式 $x < 3$ と $x < 1$ の間の十分条件、必要条件の関係を問うものです。具体的には、以下の2つの文の空欄に「十分」または「必要」を埋めます。 ア：$x < 3$ は、$x < 1$ であるための〇〇条件である。 イ：$x < 1$ は、$x < 3$ であるための〇〇条件である。

1. 問題の内容

問題は、実数 $x$ について、不等式 $x < 3$ と $x < 1$ の間の十分条件、必要条件の関係を問うものです。具体的には、以下の2つの文の空欄に「十分」または「必要」を埋めます。

ア：$x < 3$ は、$x < 1$ であるための〇〇条件である。

イ：$x < 1$ は、$x < 3$ であるための〇〇条件である。

2. 解き方の手順

まず、十分条件と必要条件の定義を確認します。

* $P$ が $Q$ の十分条件であるとは、$P \implies Q$ が成り立つことです。つまり、$P$ ならば $Q$ が真であるということです。

* $P$ が $Q$ の必要条件であるとは、$Q \implies P$ が成り立つことです。つまり、$Q$ ならば $P$ が真であるということです。

アについて、$x < 3$ は $x < 1$ であるための〇〇条件である。

$x < 3$ を $P$, $x < 1$ を $Q$ とすると、

$P \implies Q$ が成り立つか、$Q \implies P$ が成り立つかを考える。

$x < 3$ ならば $x < 1$ は成り立つとは限らない。例えば、$x = 2$ は $x < 3$ を満たすが、$x < 1$ を満たさない。よって、$P \implies Q$ は成り立たない。

$x < 1$ ならば $x < 3$ は必ず成り立つ。よって、$Q \implies P$ は成り立つ。

したがって、$x < 3$ は $x < 1$ であるための必要条件である。

イについて、$x < 1$ は $x < 3$ であるための〇〇条件である。

$x < 1$ を $P$, $x < 3$ を $Q$ とすると、

$P \implies Q$ が成り立つか、$Q \implies P$ が成り立つかを考える。

$x < 1$ ならば $x < 3$ は必ず成り立つ。よって、$P \implies Q$ は成り立つ。

$x < 3$ ならば $x < 1$ は成り立つとは限らない。例えば、$x = 2$ は $x < 3$ を満たすが、$x < 1$ を満たさない。よって、$Q \implies P$ は成り立たない。

したがって、$x < 1$ は $x < 3$ であるための十分条件である。

3. 最終的な答え

ア：必要

イ：十分