座標平面上の点P(x, y)が以下の不等式を満たす範囲を動くとき、式 $2x+y$ の最大値と最小値、およびそのときのx, yの値を求めよ。 $4x+y \le 9$ $x+2y \ge 4$ $2x-3y \ge -6$

1. 問題の内容

座標平面上の点P(x, y)が以下の不等式を満たす範囲を動くとき、式 $2x+y$ の最大値と最小値、およびそのときのx, yの値を求めよ。

$4x+y \le 9$

$x+2y \ge 4$

$2x-3y \ge -6$

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式をグラフに描きます。

$4x+y \le 9$ は $y \le -4x+9$

$x+2y \ge 4$ は $y \ge -\frac{1}{2}x + 2$

$2x-3y \ge -6$ は $y \le \frac{2}{3}x + 2$

次に、これらの不等式が表す領域の交点を求めます。

交点は以下の連立方程式を解くことで求められます。

* $4x+y=9$ と $x+2y=4$ の交点：

$y = 9 - 4x$を $x + 2y = 4$ に代入して $x + 2(9 - 4x) = 4$

$x + 18 - 8x = 4$

$-7x = -14$

$x = 2$

$y = 9 - 4(2) = 1$

交点は $(2, 1)$

* $x+2y=4$ と $2x-3y=-6$ の交点：

$x = 4 - 2y$ を $2x - 3y = -6$ に代入して $2(4 - 2y) - 3y = -6$

$8 - 4y - 3y = -6$

$-7y = -14$

$y = 2$

$x = 4 - 2(2) = 0$

交点は $(0, 2)$

* $4x+y=9$ と $2x-3y=-6$ の交点：

$y = 9 - 4x$ を $2x - 3y = -6$ に代入して $2x - 3(9 - 4x) = -6$

$2x - 27 + 12x = -6$

$14x = 21$

$x = \frac{3}{2}$

$y = 9 - 4(\frac{3}{2}) = 9 - 6 = 3$

交点は $(\frac{3}{2}, 3)$

次に、これらの交点（頂点）における $2x+y$ の値を計算します。

* $(2, 1)$ のとき、$2x+y = 2(2) + 1 = 5$

* $(0, 2)$ のとき、$2x+y = 2(0) + 2 = 2$

* $(\frac{3}{2}, 3)$ のとき、$2x+y = 2(\frac{3}{2}) + 3 = 3 + 3 = 6$

$2x+y$ の最大値は6であり、その時の $(x, y)$ は $(\frac{3}{2}, 3)$です。

$2x+y$ の最小値は2であり、その時の $(x, y)$ は $(0, 2)$です。

3. 最終的な答え

最大値：6 (x=3/2, y=3)

最小値：2 (x=0, y=2)