与えられた3つの数について、大小関係を不等号を用いて表す問題です。 (1) $\sqrt[3]{8}$, $\sqrt[4]{4}$, $\sqrt[5]{16}$ (2) $(0.5)^{\frac{1}{2}}$, $(0.5)^{-2}$, $\sqrt[3]{2}$

1. 問題の内容

与えられた3つの数について、大小関係を不等号を用いて表す問題です。

(1) $\sqrt[3]{8}$, $\sqrt[4]{4}$, $\sqrt[5]{16}$

(2) $(0.5)^{\frac{1}{2}}$, $(0.5)^{-2}$, $\sqrt[3]{2}$

2. 解き方の手順

(1)

まず、各数を指数で表現します。

$\sqrt[3]{8} = 8^{\frac{1}{3}} = (2^3)^{\frac{1}{3}} = 2$

$\sqrt[4]{4} = 4^{\frac{1}{4}} = (2^2)^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{2}{4}} = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$

$\sqrt[5]{16} = 16^{\frac{1}{5}} = (2^4)^{\frac{1}{5}} = 2^{\frac{4}{5}}$

ここで、$2 = 2^1$ です。

指数部を比較するために、全てを10乗します。

$(2^1)^{10} = 2^{10} = 1024$

$(2^{\frac{1}{2}})^{10} = 2^5 = 32$

$(2^{\frac{4}{5}})^{10} = 2^8 = 256$

したがって、

$2^{\frac{1}{2}} < 2^{\frac{4}{5}} < 2^1$

よって、$\sqrt[4]{4} < \sqrt[5]{16} < \sqrt[3]{8}$

(2)

$0.5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$ であることを利用して、各数を指数で表現します。

$(0.5)^{\frac{1}{2}} = (2^{-1})^{\frac{1}{2}} = 2^{-\frac{1}{2}}$

$(0.5)^{-2} = (2^{-1})^{-2} = 2^2 = 4$

$\sqrt[3]{2} = 2^{\frac{1}{3}}$

指数部を比較します。

$-\frac{1}{2} < \frac{1}{3} < 2$

したがって、

$2^{-\frac{1}{2}} < 2^{\frac{1}{3}} < 2^2$

よって、$(0.5)^{\frac{1}{2}} < \sqrt[3]{2} < (0.5)^{-2}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt[4]{4} < \sqrt[5]{16} < \sqrt[3]{8}$

(2) $(0.5)^{\frac{1}{2}} < \sqrt[3]{2} < (0.5)^{-2}$