座標平面上の点P$(x, y)$が不等式 $4x+y \leq 9$, $x+2y \geq 4$, $2x-3y \geq -6$ の範囲を動くとき、$2x+y$ の最大値と最小値、およびそのときの $x, y$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

座標平面上の点P$(x, y)$が不等式 $4x+y \leq 9$, $x+2y \geq 4$, $2x-3y \geq -6$ の範囲を動くとき、$2x+y$ の最大値と最小値、およびそのときの $x, y$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式から領域を求めます。

1. $4x+y \leq 9$ -> $y \leq -4x + 9$

2. $x+2y \geq 4$ -> $y \geq -\frac{1}{2}x + 2$

3. $2x-3y \geq -6$ -> $y \leq \frac{2}{3}x + 2$

これらの不等式を満たす領域は、これらの直線で囲まれた領域になります。各直線の交点を計算します。

- 交点1: $y = -4x + 9$ と $y = -\frac{1}{2}x + 2$ の交点

$-4x + 9 = -\frac{1}{2}x + 2$

$7 = \frac{7}{2}x$

$x = 2$

$y = -4(2) + 9 = 1$

交点: $(2, 1)$

- 交点2: $y = -4x + 9$ と $y = \frac{2}{3}x + 2$ の交点

$-4x + 9 = \frac{2}{3}x + 2$

$7 = \frac{14}{3}x$

$x = \frac{3}{2}$

$y = -4(\frac{3}{2}) + 9 = 3$

交点: $(\frac{3}{2}, 3)$

- 交点3: $y = -\frac{1}{2}x + 2$ と $y = \frac{2}{3}x + 2$ の交点

$-\frac{1}{2}x + 2 = \frac{2}{3}x + 2$

$0 = \frac{7}{6}x$

$x = 0$

$y = 2$

交点: $(0, 2)$

次に、$k = 2x + y$ とおきます。$y = -2x + k$ となり、これは傾きが $-2$、y切片が $k$ の直線を表します。この直線が上記の領域と交わるように $k$ を変化させたとき、$k$ の最大値と最小値を求めます。

領域の頂点 $(2, 1)$, $(\frac{3}{2}, 3)$, $(0, 2)$ で $2x+y$ の値を計算します。

- $(2, 1)$ のとき: $2(2) + 1 = 5$

- $(\frac{3}{2}, 3)$ のとき: $2(\frac{3}{2}) + 3 = 6$

- $(0, 2)$ のとき: $2(0) + 2 = 2$

したがって、$2x+y$ の最大値は $6$ であり、そのとき $(x, y) = (\frac{3}{2}, 3)$ です。最小値は $2$ であり、そのとき $(x, y) = (0, 2)$ です。

3. 最終的な答え

最大値: $6$, そのとき $(x, y) = (\frac{3}{2}, 3)$

最小値: $2$, そのとき $(x, y) = (0, 2)$