* 標本平均の期待値：$E(\overline{X}) = \mu = 25$ * 標本平均の分散：$V(\overline{X}) = \frac{\sigma^2}{n} = \frac{2^2}{25} = \frac{4}{25}$ * 標本平均の標準偏差：$\sigma(\overline{X}) = \sqrt{V(\overline{X})} = \sqrt{\frac{4}{25}} = \frac{2}{5} = 0.4$ したがって、標本平均 $\overline{X}$ は正規分布 $N(25, 0.4^2)$ に従う。

## 問題14の内容

体長が平均 $25cm$、標準偏差 $2cm$ の正規分布に従う生物集団がある。この集団から25個の個体を無作為に取り出したとき、その標本平均が $25.8cm$ 以上となる確率を求める。

## 解き方の手順

1. 標本平均 $\overline{X}$ の分布を考える。母集団が正規分布に従うとき、標本平均も正規分布に従う。

* 標本平均の期待値：$E(\overline{X}) = \mu = 25$

* 標本平均の分散：$V(\overline{X}) = \frac{\sigma^2}{n} = \frac{2^2}{25} = \frac{4}{25}$

* 標本平均の標準偏差：$\sigma(\overline{X}) = \sqrt{V(\overline{X})} = \sqrt{\frac{4}{25}} = \frac{2}{5} = 0.4$

したがって、標本平均 $\overline{X}$ は正規分布 $N(25, 0.4^2)$ に従う。

2. $\overline{X}$ を標準化する。標準得点 $Z$ を計算する。

$Z = \frac{\overline{X} - E(\overline{X})}{\sigma(\overline{X})}$

$\overline{X} = 25.8$ のとき、

$Z = \frac{25.8 - 25}{0.4} = \frac{0.8}{0.4} = 2$

3. 標準正規分布表を用いて、Z=2 となる確率を求める。標準正規分布表から、$P(Z \geq 2) = 0.0228$ である。

## 最終的な答え

求める確率は $0.0228$ である。