不等式 $\log_{10}x + \log_{10}(2x+1) < 1$ を解きます。代数学対数不等式二次不等式真数条件2025/7/71. 問題の内容不等式 log10x+log10(2x+1)<1\log_{10}x + \log_{10}(2x+1) < 1log10x+log10(2x+1)<1 を解きます。2. 解き方の手順まず、対数の真数条件を確認します。x>0x > 0x>0 かつ 2x+1>02x+1 > 02x+1>0 である必要があります。x>0x>0x>0 かつ x>−12x > -\frac{1}{2}x>−21 であることから、x>0x > 0x>0 が条件となります。次に、不等式を整理します。対数の和を積の対数に変換します。log10x+log10(2x+1)<1\log_{10}x + \log_{10}(2x+1) < 1log10x+log10(2x+1)<1log10(x(2x+1))<1\log_{10}(x(2x+1)) < 1log10(x(2x+1))<1両辺を10の指数として適用します。x(2x+1)<101x(2x+1) < 10^1x(2x+1)<1012x2+x<102x^2 + x < 102x2+x<102x2+x−10<02x^2 + x - 10 < 02x2+x−10<0二次不等式を解くために、まず二次方程式 2x2+x−10=02x^2 + x - 10 = 02x2+x−10=0 の解を求めます。解の公式を用いると、x=−1±12−4(2)(−10)2(2)=−1±1+804=−1±814=−1±94x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(2)(-10)}}{2(2)} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 80}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{81}}{4} = \frac{-1 \pm 9}{4}x=2(2)−1±12−4(2)(−10)=4−1±1+80=4−1±81=4−1±9x1=−1−94=−104=−52x_1 = \frac{-1 - 9}{4} = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2}x1=4−1−9=4−10=−25x2=−1+94=84=2x_2 = \frac{-1 + 9}{4} = \frac{8}{4} = 2x2=4−1+9=48=2したがって、2x2+x−10<02x^2 + x - 10 < 02x2+x−10<0 の解は −52<x<2-\frac{5}{2} < x < 2−25<x<2 となります。真数条件 x>0x > 0x>0 と不等式の解 −52<x<2-\frac{5}{2} < x < 2−25<x<2 の共通範囲を求めると、0<x<20 < x < 20<x<2 となります。3. 最終的な答え0<x<20 < x < 20<x<2