不等式 $\log_{10}x + \log_{10}(2x+1) < 1$ を解きます。

1. 問題の内容

不等式 $\log_{10}x + \log_{10}(2x+1) < 1$ を解きます。

2. 解き方の手順

まず、対数の真数条件を確認します。

$x > 0$ かつ $2x+1 > 0$ である必要があります。

$x>0$ かつ $x > -\frac{1}{2}$ であることから、$x > 0$ が条件となります。

次に、不等式を整理します。対数の和を積の対数に変換します。

$\log_{10}x + \log_{10}(2x+1) < 1$

$\log_{10}(x(2x+1)) < 1$

両辺を10の指数として適用します。

$x(2x+1) < 10^1$

$2x^2 + x < 10$

$2x^2 + x - 10 < 0$

二次不等式を解くために、まず二次方程式 $2x^2 + x - 10 = 0$ の解を求めます。

解の公式を用いると、

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(2)(-10)}}{2(2)} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 80}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{81}}{4} = \frac{-1 \pm 9}{4}$

$x_1 = \frac{-1 - 9}{4} = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2}$

$x_2 = \frac{-1 + 9}{4} = \frac{8}{4} = 2$

したがって、$2x^2 + x - 10 < 0$ の解は $-\frac{5}{2} < x < 2$ となります。

真数条件 $x > 0$ と不等式の解 $-\frac{5}{2} < x < 2$ の共通範囲を求めると、$0 < x < 2$ となります。

3. 最終的な答え

$0 < x < 2$