不等式 $\log_{10}x + \log_{10}(2x+1) < 1$ を解きます。

代数学対数不等式二次不等式真数条件
2025/7/7

1. 問題の内容

不等式 log10x+log10(2x+1)<1\log_{10}x + \log_{10}(2x+1) < 1 を解きます。

2. 解き方の手順

まず、対数の真数条件を確認します。
x>0x > 0 かつ 2x+1>02x+1 > 0 である必要があります。
x>0x>0 かつ x>12x > -\frac{1}{2} であることから、x>0x > 0 が条件となります。
次に、不等式を整理します。対数の和を積の対数に変換します。
log10x+log10(2x+1)<1\log_{10}x + \log_{10}(2x+1) < 1
log10(x(2x+1))<1\log_{10}(x(2x+1)) < 1
両辺を10の指数として適用します。
x(2x+1)<101x(2x+1) < 10^1
2x2+x<102x^2 + x < 10
2x2+x10<02x^2 + x - 10 < 0
二次不等式を解くために、まず二次方程式 2x2+x10=02x^2 + x - 10 = 0 の解を求めます。
解の公式を用いると、
x=1±124(2)(10)2(2)=1±1+804=1±814=1±94x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(2)(-10)}}{2(2)} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 80}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{81}}{4} = \frac{-1 \pm 9}{4}
x1=194=104=52x_1 = \frac{-1 - 9}{4} = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2}
x2=1+94=84=2x_2 = \frac{-1 + 9}{4} = \frac{8}{4} = 2
したがって、2x2+x10<02x^2 + x - 10 < 0 の解は 52<x<2-\frac{5}{2} < x < 2 となります。
真数条件 x>0x > 0 と不等式の解 52<x<2-\frac{5}{2} < x < 2 の共通範囲を求めると、0<x<20 < x < 2 となります。

3. 最終的な答え

0<x<20 < x < 2

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