放物線 $y = -2x^2 + 6x - 1$ が $x$軸から切り取る線分の長さを求めます。

## 問題26

1. 問題の内容

放物線 $y = -2x^2 + 6x - 1$ が $x$軸から切り取る線分の長さを求めます。

2. 解き方の手順

まず、放物線と$x$軸との交点を求めます。これは、$y = 0$ となる $x$ の値を求めることと同じです。

$$-2x^2 + 6x - 1 = 0$$

この2次方程式を解きます。解の公式を用いると

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

ここで、$a = -2$, $b = 6$, $c = -1$ なので、

$$x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4(-2)(-1)}}{2(-2)} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 8}}{-4} = \frac{-6 \pm \sqrt{28}}{-4} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{7}}{-4} = \frac{3 \mp \sqrt{7}}{2}$$

したがって、2つの交点の $x$ 座標は $x_1 = \frac{3 - \sqrt{7}}{2}$ と $x_2 = \frac{3 + \sqrt{7}}{2}$ となります。

線分の長さは、2つの交点の $x$ 座標の差の絶対値です。

$$|x_2 - x_1| = \left| \frac{3 + \sqrt{7}}{2} - \frac{3 - \sqrt{7}}{2} \right| = \left| \frac{2\sqrt{7}}{2} \right| = \sqrt{7}$$

3. 最終的な答え

$\sqrt{7}$

## 問題27(1)

1. 問題の内容

2次不等式 $x^2 - 8x + 12 \ge 0$ の解を求めます。

2. 解き方の手順

まず、2次式を因数分解します。

$$x^2 - 8x + 12 = (x - 2)(x - 6)$$

したがって、不等式は

$$(x - 2)(x - 6) \ge 0$$

この不等式が成り立つのは、$x \le 2$ または $x \ge 6$ のときです。

3. 最終的な答え

$x \le 2$ または $6 \le x$

## 問題27(2)

1. 問題の内容

2次不等式 $4x^2 - 12x + 5 < 0$ の解を求めます。

2. 解き方の手順

まず、2次式を因数分解します。

$$4x^2 - 12x + 5 = (2x - 1)(2x - 5)$$

したがって、不等式は

$$(2x - 1)(2x - 5) < 0$$

この不等式が成り立つのは、$\frac{1}{2} < x < \frac{5}{2}$ のときです。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} < x < \frac{5}{2}$

## 問題28

1. 問題の内容

すべての実数 $x$ に対して不等式 $x^2 + 4x + a > 0$ が成り立つような $a$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

2次式 $x^2 + 4x + a$ が常に正であるためには、2次方程式 $x^2 + 4x + a = 0$ が実数解を持たない必要があります。

つまり、判別式 $D$ が $D < 0$ である必要があります。

$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4(1)(a) = 16 - 4a$

したがって、$16 - 4a < 0$ であれば良いので、$4a > 16$ となり、$a > 4$。

3. 最終的な答え

$a > 4$

## 問題29

1. 問題の内容

連立不等式

$x^2 - 4x - 1 < 0$

$x^2 - 2x - 4 > 0$

の解を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 - 4x - 1 < 0$ を解きます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4(-1)}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}$

よって、$2 - \sqrt{5} < x < 2 + \sqrt{5}$。

次に、$x^2 - 2x - 4 > 0$ を解きます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(-4)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 1 \pm \sqrt{5}$

よって、$x < 1 - \sqrt{5}$ または $x > 1 + \sqrt{5}$。

$2-\sqrt{5} \approx 2 - 2.236 = -0.236$

$2+\sqrt{5} \approx 2 + 2.236 = 4.236$

$1-\sqrt{5} \approx 1 - 2.236 = -1.236$

$1+\sqrt{5} \approx 1 + 2.236 = 3.236$

したがって、$2 - \sqrt{5} < x < 1 - \sqrt{5}$ は存在しない。

$1 + \sqrt{5} < x < 2 + \sqrt{5}$ が解となる。

3. 最終的な答え

$1 + \sqrt{5} < x < 2 + \sqrt{5}$