## 問題の解答

## 問題の解答

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1. 問題の内容

与えられた式の展開式において、指定された項の係数を求める問題です。具体的には、以下の4つの問題があります。

(1) $(3x+2)^5$ の展開式における $x^3$ の項の係数

(2) $(2-x)^{10}$ の展開式における $x^7$ の項の係数

(3) $(3x+y)^6$ の展開式における $x^3y^3$ の項の係数

(4) $(2x-3y)^7$ の展開式における $x^5y^2$ の項の係数

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2. 解き方の手順

二項定理を利用して、各項の係数を求めます。

(1) $(3x+2)^5$ の展開式における $x^3$ の項の係数

二項定理より、

$(3x+2)^5 = \sum_{k=0}^{5} {}_5 C_k (3x)^k 2^{5-k}$

$x^3$ の項は $k=3$ のときなので、

${}_5 C_3 (3x)^3 2^{5-3} = {}_5 C_3 \cdot 3^3 \cdot 2^2 \cdot x^3 = 10 \cdot 27 \cdot 4 \cdot x^3 = 1080x^3$

よって、係数は1080です。

(2) $(2-x)^{10}$ の展開式における $x^7$ の項の係数

二項定理より、

$(2-x)^{10} = \sum_{k=0}^{10} {}_{10} C_k 2^{10-k} (-x)^k$

$x^7$ の項は $k=7$ のときなので、

${}_{10} C_7 2^{10-7} (-x)^7 = {}_{10} C_7 \cdot 2^3 \cdot (-1)^7 x^7 = 120 \cdot 8 \cdot (-1) x^7 = -960x^7$

よって、係数は-960です。

(3) $(3x+y)^6$ の展開式における $x^3y^3$ の項の係数

二項定理より、

$(3x+y)^6 = \sum_{k=0}^{6} {}_6 C_k (3x)^k y^{6-k}$

$x^3y^3$ の項は $k=3$ のときなので、

${}_6 C_3 (3x)^3 y^{6-3} = {}_6 C_3 \cdot 3^3 \cdot x^3 \cdot y^3 = 20 \cdot 27 \cdot x^3 y^3 = 540 x^3 y^3$

よって、係数は540です。

(4) $(2x-3y)^7$ の展開式における $x^5y^2$ の項の係数

二項定理より、

$(2x-3y)^7 = \sum_{k=0}^{7} {}_7 C_k (2x)^k (-3y)^{7-k}$

$x^5y^2$ の項は $k=5$ のときなので、

${}_7 C_5 (2x)^5 (-3y)^{7-5} = {}_7 C_5 \cdot 2^5 \cdot x^5 \cdot (-3)^2 \cdot y^2 = 21 \cdot 32 \cdot 9 \cdot x^5 y^2 = 6048 x^5 y^2$

よって、係数は6048です。

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3. 最終的な答え

(1) 1080

(2) -960

(3) 540

(4) 6048