数列 $\{a_n\}$ が与えられており、その一般項を求める問題です。数列は $1, 3, 7, 13, 21, \dots$ です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が与えられており、その一般項を求める問題です。数列は $1, 3, 7, 13, 21, \dots$ です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた数列の階差数列を求めます。階差数列は、隣り合う項の差を取ることで得られます。

* $3 - 1 = 2$

* $7 - 3 = 4$

* $13 - 7 = 6$

* $21 - 13 = 8$

したがって、階差数列は $2, 4, 6, 8, \dots$ となります。これは初項が2、公差が2の等差数列です。この等差数列の一般項 $b_n$ は、

$b_n = 2 + (n-1) \times 2 = 2n$

と表されます。

元の数列の一般項 $a_n$ は、階差数列を用いて以下のように表されます。

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$

ここで、$a_1 = 1$ であり、$b_k = 2k$ なので、

$a_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2k = 1 + 2\sum_{k=1}^{n-1} k$

$\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}$ なので、

$a_n = 1 + 2 \times \frac{(n-1)n}{2} = 1 + n(n-1) = 1 + n^2 - n = n^2 - n + 1$

これは、$n \ge 2$ のときに成り立ちます。$n = 1$ のとき、$a_1 = 1^2 - 1 + 1 = 1$ なので、$n=1$ のときも成り立ちます。

3. 最終的な答え

数列 $\{a_n\}$ の一般項は、

$a_n = n^2 - n + 1$

です。