数列 ${a_n}$ が与えられており、その一般項を求める問題です。数列は 1, 3, 7, 13, 21, ... です。

1. 問題の内容

数列 ${a_n}$ が与えられており、その一般項を求める問題です。数列は 1, 3, 7, 13, 21, ... です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた数列の階差数列を求めます。

3 - 1 = 2

7 - 3 = 4

13 - 7 = 6

21 - 13 = 8

階差数列は 2, 4, 6, 8, ... となり、これは等差数列（初項2、公差2）であることがわかります。

階差数列が等差数列であるとき、元の数列${a_n}$は2次式で表されます。つまり、${a_n = An^2 + Bn + C}$ という形になります。

$a_1 = 1$

$a_2 = 3$

$a_3 = 7$

これらの条件からA, B, Cを求めます。

$a_1 = A(1)^2 + B(1) + C = A + B + C = 1$

$a_2 = A(2)^2 + B(2) + C = 4A + 2B + C = 3$

$a_3 = A(3)^2 + B(3) + C = 9A + 3B + C = 7$

上記の3つの式からA, B, Cを求めます。

2番目の式から1番目の式を引くと、$3A + B = 2$

3番目の式から2番目の式を引くと、$5A + B = 4$

さらに、$5A + B = 4$ から $3A + B = 2$を引くと、$2A = 2$となり、$A = 1$となります。

$3A + B = 2$ に $A = 1$を代入すると、$3(1) + B = 2$となり、$B = -1$となります。

$A + B + C = 1$ に $A = 1$と$B = -1$を代入すると、$1 - 1 + C = 1$となり、$C = 1$となります。

したがって、${a_n = n^2 - n + 1}$となります。

3. 最終的な答え

$a_n = n^2 - n + 1$