数列 $a_n$ について、$\lim_{n\to\infty} |a_n - 3| = 0$ であるとき、なぜ $\lim_{n\to\infty} a_n = 3$ となるのかを問う問題です。

1. 問題の内容

数列 $a_n$ について、$\lim_{n\to\infty} |a_n - 3| = 0$ であるとき、なぜ $\lim_{n\to\infty} a_n = 3$ となるのかを問う問題です。

2. 解き方の手順

$\lim_{n\to\infty} |a_n - 3| = 0$ であるとは、任意の正の数 $\epsilon > 0$ に対して、ある自然数 $N$ が存在し、$n > N$ ならば $|a_n - 3| < \epsilon$ が成り立つということです。

絶対値の定義より、 $|a_n - 3| < \epsilon$ は $-\epsilon < a_n - 3 < \epsilon$ と同値です。

したがって、$3 - \epsilon < a_n < 3 + \epsilon$ が成り立ちます。

これは、$n > N$ ならば、$a_n$ が $3$ にいくらでも近づくことを意味しています。

したがって、$\lim_{n\to\infty} a_n = 3$ となります。

3. 最終的な答え

$\lim_{n\to\infty} |a_n - 3| = 0$ ならば、$\lim_{n\to\infty} a_n = 3$ となります。

これは、絶対値が0に収束するということは、$a_n$ が3に収束することを意味するからです。