数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 1$, $a_{n+1} = \sqrt{2a_n + 3}$ ($n=1, 2, 3, \dots$) で定義されるとき、次の問いに答える。 (1) $|a_{n+1} - 3| < \frac{2}{3} |a_n - 3|$ が成り立つことを示す。 (2) $\lim_{n\to\infty} a_n$ を求める。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 1$, $a_{n+1} = \sqrt{2a_n + 3}$ ($n=1, 2, 3, \dots$) で定義されるとき、次の問いに答える。

(1) $|a_{n+1} - 3| < \frac{2}{3} |a_n - 3|$ が成り立つことを示す。

(2) $\lim_{n\to\infty} a_n$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) まず、$a_{n+1} - 3$ を計算する。

$a_{n+1} - 3 = \sqrt{2a_n + 3} - 3 = \frac{(\sqrt{2a_n + 3} - 3)(\sqrt{2a_n + 3} + 3)}{\sqrt{2a_n + 3} + 3} = \frac{2a_n + 3 - 9}{\sqrt{2a_n + 3} + 3} = \frac{2(a_n - 3)}{\sqrt{2a_n + 3} + 3}$.

したがって、

$|a_{n+1} - 3| = \left| \frac{2(a_n - 3)}{\sqrt{2a_n + 3} + 3} \right| = \frac{2}{\sqrt{2a_n + 3} + 3} |a_n - 3|$.

ここで、$a_n > 0$ より $\sqrt{2a_n + 3} + 3 > \sqrt{3} + 3 > 3$.

したがって、$\frac{2}{\sqrt{2a_n + 3} + 3} < \frac{2}{3}$ である。

よって、$|a_{n+1} - 3| < \frac{2}{3} |a_n - 3|$ が成り立つ。

(2) (1)より、$|a_{n+1} - 3| < \frac{2}{3} |a_n - 3|$ が成り立つ。

これを繰り返し用いると、$|a_n - 3| < \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1} |a_1 - 3|$ となる。

$a_1 = 1$ より $|a_1 - 3| = |1 - 3| = 2$ なので、

$|a_n - 3| < 2\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}$ となる。

$\lim_{n\to\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1} = 0$ であるから、$\lim_{n\to\infty} |a_n - 3| = 0$ となる。

よって、$\lim_{n\to\infty} a_n = 3$ である。

3. 最終的な答え

(1) $|a_{n+1} - 3| < \frac{2}{3} |a_n - 3|$ が成り立つ。（証明終わり）

(2) $\lim_{n\to\infty} a_n = 3$