問題33(1): 関数 $f(x) = -3x + 2$ について、$x$が1から3まで変化するときの平均変化率を求めます。 問題34(1): 極限 $\lim_{x \to 2} (x^2 - 3x - 2)$ を求めます。 問題35(1): 極限 $\lim_{x \to 2} \frac{2x^2 - 5x + 2}{x^2 - 4}$ を求めます。 問題35(2): 極限 $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}(1 - \frac{1}{x+1})$ を求めます。

1. 問題の内容

問題33(1): 関数 $f(x) = -3x + 2$ について、$x$が1から3まで変化するときの平均変化率を求めます。

問題34(1): 極限 $\lim_{x \to 2} (x^2 - 3x - 2)$ を求めます。

問題35(1): 極限 $\lim_{x \to 2} \frac{2x^2 - 5x + 2}{x^2 - 4}$ を求めます。

問題35(2): 極限 $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}(1 - \frac{1}{x+1})$ を求めます。

2. 解き方の手順

問題33(1): 平均変化率は $\frac{f(3) - f(1)}{3 - 1}$ で求められます。

$f(3) = -3(3) + 2 = -9 + 2 = -7$

$f(1) = -3(1) + 2 = -3 + 2 = -1$

平均変化率 = $\frac{-7 - (-1)}{3 - 1} = \frac{-6}{2} = -3$

問題34(1): $x$を2に近づけるときの $x^2 - 3x - 2$ の値を求めます。

$\lim_{x \to 2} (x^2 - 3x - 2) = (2)^2 - 3(2) - 2 = 4 - 6 - 2 = -4$

問題35(1): $x$ を 2 に近づけるときに、分子と分母がともに 0 になるため、因数分解を行います。

$\frac{2x^2 - 5x + 2}{x^2 - 4} = \frac{(2x - 1)(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)}$

$x \neq 2$ のとき、$\frac{(2x - 1)(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{2x - 1}{x + 2}$

$\lim_{x \to 2} \frac{2x - 1}{x + 2} = \frac{2(2) - 1}{2 + 2} = \frac{4 - 1}{4} = \frac{3}{4}$

問題35(2):

$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}(1 - \frac{1}{x+1}) = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x}(\frac{x+1 - 1}{x+1}) = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{x+1} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x+1} = \frac{1}{0 + 1} = 1$

3. 最終的な答え

問題33(1): -3

問題34(1): -4

問題35(1): $\frac{3}{4}$

問題35(2): 1