数列 $\{a_n\}$ が、$a_1=1$, $a_{n+1}=\sqrt{2a_n+3}$ ($n=1,2,3,...$) で定義される。 (1) $|a_{n+1}-3| < \frac{2}{3}|a_n-3|$ が成り立つことを示せ。 (2) $\lim_{n \to \infty} a_n$ を求めよ。ただし、はさみうちの原理を用いること。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が、$a_1=1$, $a_{n+1}=\sqrt{2a_n+3}$ ($n=1,2,3,...$) で定義される。

(1) $|a_{n+1}-3| < \frac{2}{3}|a_n-3|$ が成り立つことを示せ。

(2) $\lim_{n \to \infty} a_n$ を求めよ。ただし、はさみうちの原理を用いること。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$a_{n+1}-3 = \sqrt{2a_n+3} - 3$ を変形する。

$a_{n+1}-3 = \frac{(\sqrt{2a_n+3} - 3)(\sqrt{2a_n+3} + 3)}{\sqrt{2a_n+3} + 3} = \frac{(2a_n+3)-9}{\sqrt{2a_n+3} + 3} = \frac{2(a_n-3)}{\sqrt{2a_n+3} + 3}$

したがって、

$|a_{n+1}-3| = \frac{2|a_n-3|}{\sqrt{2a_n+3} + 3}$

ここで、$a_1=1$ であり、$a_{n+1} = \sqrt{2a_n+3}$ なので、$a_n>0$ であることがわかる。また、$a_2 = \sqrt{2(1)+3} = \sqrt{5} > 0$ であるから、すべての $n$ に対して $a_n>0$ である。

$|a_{n+1}-3| = \frac{2|a_n-3|}{\sqrt{2a_n+3} + 3}$

$\sqrt{2a_n+3}+3 > 3$ より

$\frac{2}{\sqrt{2a_n+3} + 3} < \frac{2}{3}$

したがって、$|a_{n+1}-3| < \frac{2}{3}|a_n-3|$ が成り立つ。

(2)

(1)の結果から、

$|a_{n+1}-3| < \frac{2}{3}|a_n-3|$

この不等式を繰り返し用いると、

$|a_n-3| < (\frac{2}{3})^{n-1}|a_1-3| = (\frac{2}{3})^{n-1}|1-3| = 2(\frac{2}{3})^{n-1}$

$-2(\frac{2}{3})^{n-1} < a_n-3 < 2(\frac{2}{3})^{n-1}$

$3 - 2(\frac{2}{3})^{n-1} < a_n < 3 + 2(\frac{2}{3})^{n-1}$

ここで、$\lim_{n \to \infty} (\frac{2}{3})^{n-1} = 0$ であるから、

$\lim_{n \to \infty} [3 - 2(\frac{2}{3})^{n-1}] = 3$

$\lim_{n \to \infty} [3 + 2(\frac{2}{3})^{n-1}] = 3$

はさみうちの原理より、

$\lim_{n \to \infty} a_n = 3$

3. 最終的な答え

(1) $|a_{n+1}-3| < \frac{2}{3}|a_n-3|$ が成り立つ。

(2) $\lim_{n \to \infty} a_n = 3$