次の2次不等式を解きます。 (1) $-3x^2 + 7x - 2 > 0$ (2) $x^2 + 2x - 2 \ge 0$ (3) $x^2 - 3x + 3 < 0$ (4) $2x^2 + 8x + 9 \ge 0$ (5) $12x - 36 \ge x^2$ (6) $4x^2 + 9 > 3x(x - 2)$

はい、承知いたしました。2次不等式の問題を解きます。

1. 問題の内容

次の2次不等式を解きます。

(1) $-3x^2 + 7x - 2 > 0$

(2) $x^2 + 2x - 2 \ge 0$

(3) $x^2 - 3x + 3 < 0$

(4) $2x^2 + 8x + 9 \ge 0$

(5) $12x - 36 \ge x^2$

(6) $4x^2 + 9 > 3x(x - 2)$

2. 解き方の手順

(1) $-3x^2 + 7x - 2 > 0$

まず、両辺に-1をかけて不等号の向きを変えます。

$3x^2 - 7x + 2 < 0$

左辺を因数分解します。

$(3x - 1)(x - 2) < 0$

$3x-1 = 0$ を解くと $x = \frac{1}{3}$

$x-2 = 0$ を解くと $x = 2$

したがって、$\frac{1}{3} < x < 2$

(2) $x^2 + 2x - 2 \ge 0$

解の公式を利用します。$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ に $a=1, b=2, c=-2$ を代入します。

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}$

したがって、$x \le -1 - \sqrt{3}$ または $x \ge -1 + \sqrt{3}$

(3) $x^2 - 3x + 3 < 0$

判別式 $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 9 - 12 = -3 < 0$

$x^2 - 3x + 3 = 0$ は実数解を持たず、$x^2 - 3x + 3$ は常に正であるため、不等式を満たす $x$ は存在しません。

したがって、解なし。

(4) $2x^2 + 8x + 9 \ge 0$

判別式 $D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 2 \cdot 9 = 64 - 72 = -8 < 0$

$2x^2 + 8x + 9 = 0$ は実数解を持たず、$2x^2 + 8x + 9$ は常に正であるため、すべての実数 $x$ で不等式が成立します。

したがって、すべての実数。

(5) $12x - 36 \ge x^2$

$x^2 - 12x + 36 \le 0$

$(x - 6)^2 \le 0$

$(x-6)^2$ は常に0以上なので、$(x - 6)^2 = 0$ のときのみ不等式が成立します。

したがって、$x = 6$

(6) $4x^2 + 9 > 3x(x - 2)$

$4x^2 + 9 > 3x^2 - 6x$

$x^2 + 6x + 9 > 0$

$(x + 3)^2 > 0$

$(x+3)^2$ は常に0以上であり、$x = -3$ のとき $(x+3)^2 = 0$ となるため、$x \neq -3$ のとき不等式が成立します。

したがって、$x < -3$ または $x > -3$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{3} < x < 2$

(2) $x \le -1 - \sqrt{3}$ または $x \ge -1 + \sqrt{3}$

(3) 解なし

(4) すべての実数

(5) $x = 6$

(6) $x < -3$ または $x > -3$