点Oを始点とするベクトル$\vec{a} = \vec{OA}$, $\vec{b} = \vec{OB}$が与えられている。線分OBを5:2に内分する点をC, 線分ACの中点をDとする。直線ODと直線MNの交点をEとする。このとき、ベクトル$\vec{OD}$と$\vec{OE}$を$\vec{a}$と$\vec{b}$を用いて表す。

1. 問題の内容

点Oを始点とするベクトル$\vec{a} = \vec{OA}$, $\vec{b} = \vec{OB}$が与えられている。線分OBを5:2に内分する点をC, 線分ACの中点をDとする。直線ODと直線MNの交点をEとする。このとき、ベクトル$\vec{OD}$と$\vec{OE}$を$\vec{a}$と$\vec{b}$を用いて表す。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{OC}$を$\vec{b}$を用いて表す。Cは線分OBを5:2に内分する点なので、

$$\vec{OC} = \frac{5}{7} \vec{OB} = \frac{5}{7} \vec{b}$$

次に、$\vec{OD}$を$\vec{a}$と$\vec{b}$を用いて表す。Dは線分ACの中点なので、

$$\vec{OD} = \frac{\vec{OA} + \vec{OC}}{2} = \frac{\vec{a} + \frac{5}{7} \vec{b}}{2} = \frac{\vec{a}}{2} + \frac{5}{14} \vec{b} = \frac{7\vec{a} + 5\vec{b}}{14}$$

次に、直線ODと直線MN（おそらく直線AEのことだと思われる。問題文に直線MNの定義がないので、直線AEとして解く）の交点Eについて考える。

点Eは直線OD上にあるので、実数$k$を用いて

$$\vec{OE} = k \vec{OD} = k \left( \frac{7\vec{a} + 5\vec{b}}{14} \right) = \frac{7k}{14} \vec{a} + \frac{5k}{14} \vec{b}$$

と表せる。

また、点Eは直線AE上にあるので、実数$l$を用いて

$$\vec{OE} = (1-l) \vec{OA} + l \vec{OC} = (1-l) \vec{a} + l \left( \frac{5}{7} \vec{b} \right) = (1-l) \vec{a} + \frac{5l}{7} \vec{b}$$

と表せる。

$\vec{a}$と$\vec{b}$は一次独立なので、

$$\frac{7k}{14} = 1-l$$

$$\frac{5k}{14} = \frac{5l}{7}$$

という連立方程式が成り立つ。

2つ目の式より、$\frac{k}{14} = \frac{l}{7}$なので、$k = 2l$。これを1つ目の式に代入して

$$\frac{7(2l)}{14} = 1-l$$

$$l = 1-l$$

$$2l = 1$$

$$l = \frac{1}{2}$$

したがって、$k = 2l = 2 \times \frac{1}{2} = 1$。

$$\vec{OE} = \frac{7(1)}{14} \vec{a} + \frac{5(1)}{14} \vec{b} = \frac{7}{14} \vec{a} + \frac{5}{14} \vec{b} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{5}{14}\vec{b} = \frac{7\vec{a}+5\vec{b}}{14}$$

3. 最終的な答え

$\vec{OD} = \frac{7\vec{a} + 5\vec{b}}{14}$

$\vec{OE} = \frac{7\vec{a} + 5\vec{b}}{14}$

（注: Eは直線OD上にあるので$\vec{OE}$の答えは$\vec{OD}$と等しくなります。）