この問題は、直線の方程式に関する問題です。 (1) 4つの直線が与えられ、互いに平行な直線と互いに垂直な直線を選ぶ問題です。 与えられた直線は ① $y = 3x - 2$ ② $4x + 6y - 3 = 0$ ③ $3x - 2y + 1 = 0$ ④ $6x - 2y + 1 = 0$ の4つです。 (2) 指定された条件を満たす直線の方程式を求める問題です。 (a) 点 $(2, -3)$ を通り、直線 $y = 2x - 1$ に平行な直線の方程式を求めます。 (b) 点 $(-4, 2)$ を通り、直線 $3x - y - 6 = 0$ に垂直な直線の方程式を求めます。

1. 問題の内容

この問題は、直線の方程式に関する問題です。

(1) 4つの直線が与えられ、互いに平行な直線と互いに垂直な直線を選ぶ問題です。

与えられた直線は

① $y = 3x - 2$

② $4x + 6y - 3 = 0$

③ $3x - 2y + 1 = 0$

④ $6x - 2y + 1 = 0$

の4つです。

(2) 指定された条件を満たす直線の方程式を求める問題です。

(a) 点 $(2, -3)$ を通り、直線 $y = 2x - 1$ に平行な直線の方程式を求めます。

(b) 点 $(-4, 2)$ を通り、直線 $3x - y - 6 = 0$ に垂直な直線の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

まず、すべての直線の方程式を $y = ax + b$ の形に変形し、傾きを比較します。

① $y = 3x - 2$ (傾き: 3)

② $4x + 6y - 3 = 0 \Rightarrow 6y = -4x + 3 \Rightarrow y = -\frac{2}{3}x + \frac{1}{2}$ (傾き: $-\frac{2}{3}$)

③ $3x - 2y + 1 = 0 \Rightarrow 2y = 3x + 1 \Rightarrow y = \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}$ (傾き: $\frac{3}{2}$)

④ $6x - 2y + 1 = 0 \Rightarrow 2y = 6x + 1 \Rightarrow y = 3x + \frac{1}{2}$ (傾き: 3)

傾きが等しい直線は平行です。したがって、①と④が平行です。

傾きの積が-1になる直線は垂直です。したがって、②と③が垂直です。

$-\frac{2}{3} \times \frac{3}{2} = -1$

(2)

(a) 求める直線は $y = 2x - 1$ に平行なので、傾きは2です。

求める直線の方程式を $y = 2x + b$ とします。

この直線が点 $(2, -3)$ を通るので、

$-3 = 2(2) + b$

$-3 = 4 + b$

$b = -7$

したがって、求める直線の方程式は $y = 2x - 7$です。

(b) 直線 $3x - y - 6 = 0$ は $y = 3x - 6$ と変形できます。この直線の傾きは3です。

求める直線はこれに垂直なので、傾きは $-\frac{1}{3}$です。

求める直線の方程式を $y = -\frac{1}{3}x + b$ とします。

この直線が点 $(-4, 2)$ を通るので、

$2 = -\frac{1}{3}(-4) + b$

$2 = \frac{4}{3} + b$

$b = 2 - \frac{4}{3} = \frac{6}{3} - \frac{4}{3} = \frac{2}{3}$

したがって、求める直線の方程式は $y = -\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}$です。

これを整理すると、$3y = -x + 2$ なので、$x + 3y - 2 = 0$となります。

3. 最終的な答え

(1) 互いに平行な直線: ①と④

互いに垂直な直線: ②と③

(2)

(a) $y = 2x - 7$

(b) $x + 3y - 2 = 0$