直線 $3x - y + 2 = 0$ に関して、点 $A(-4, 0)$ と対称な点 $B$ の座標を求めます。

1. 問題の内容

直線 $3x - y + 2 = 0$ に関して、点 $A(-4, 0)$ と対称な点 $B$ の座標を求めます。

2. 解き方の手順

点 $B$ の座標を $(p, q)$ とします。

線分 $AB$ の中点を $M$ とすると、$M$ の座標は $(\frac{-4+p}{2}, \frac{0+q}{2})$ 、つまり $(\frac{p-4}{2}, \frac{q}{2})$ です。

点 $M$ は直線 $3x - y + 2 = 0$ 上にあるので、

$3(\frac{p-4}{2}) - \frac{q}{2} + 2 = 0$

これを整理すると、

$\frac{3p-12}{2} - \frac{q}{2} + 2 = 0$

$3p - 12 - q + 4 = 0$

$3p - q - 8 = 0$

$3p - q = 8$ ...(1)

また、直線 $AB$ は直線 $3x - y + 2 = 0$ と垂直なので、それぞれの傾きの積が -1 となります。

直線 $AB$ の傾きは $\frac{q-0}{p-(-4)} = \frac{q}{p+4}$ であり、直線 $3x - y + 2 = 0$ の傾きは 3 です。

したがって、$\frac{q}{p+4} \times 3 = -1$

$3q = -p - 4$

$p + 3q = -4$ ...(2)

(1) と (2) の連立方程式を解きます。

(1) より $q = 3p - 8$ 。これを(2)に代入すると、

$p + 3(3p - 8) = -4$

$p + 9p - 24 = -4$

$10p = 20$

$p = 2$

これを(1)に代入すると、

$3(2) - q = 8$

$6 - q = 8$

$q = -2$

したがって、点 $B$ の座標は $(2, -2)$ です。

3. 最終的な答え

点Bの座標は $(2, -2)$ です。