問題は2つあります。 問題1：直線 $3x - y + 2 = 0$ に関して、点 $A(-4, 0)$ と対称な点 $B$ の座標を求めよ。 問題2：次の点と直線の距離を求めよ。 (1) 点 $(1, -1)$、直線 $4x - 3y + 1 = 0$ (2) 原点、直線 $y = 2x - 10$

1. 問題の内容

問題は2つあります。

問題1：直線 $3x - y + 2 = 0$ に関して、点 $A(-4, 0)$ と対称な点 $B$ の座標を求めよ。

問題2：次の点と直線の距離を求めよ。

(1) 点 $(1, -1)$、直線 $4x - 3y + 1 = 0$

(2) 原点、直線 $y = 2x - 10$

2. 解き方の手順

問題1：点 $A$ と点 $B$ が直線 $3x - y + 2 = 0$ に関して対称であるということは、以下の2つの条件を満たすということです。

1. 線分 $AB$ の中点が直線 $3x - y + 2 = 0$ 上にある。

2. 線分 $AB$ は直線 $3x - y + 2 = 0$ と垂直に交わる。

点 $B$ の座標を $(x, y)$ とします。

条件1より、線分 $AB$ の中点の座標は $(\frac{x - 4}{2}, \frac{y}{2})$ です。この点が直線 $3x - y + 2 = 0$ 上にあるので、

$3(\frac{x - 4}{2}) - \frac{y}{2} + 2 = 0$

これを整理すると、

$3x - y - 8 = 0$

条件2より、線分 $AB$ の傾きは $\frac{y - 0}{x - (-4)} = \frac{y}{x + 4}$ です。直線 $3x - y + 2 = 0$ の傾きは $3$ です。線分 $AB$ と直線 $3x - y + 2 = 0$ が垂直に交わるので、

$\frac{y}{x + 4} \times 3 = -1$

これを整理すると、

$3y = -x - 4$

$x + 3y + 4 = 0$

2つの式を連立して解きます。

$3x - y - 8 = 0$

$x + 3y + 4 = 0$

2番目の式より $x = -3y - 4$ なので、これを1番目の式に代入します。

$3(-3y - 4) - y - 8 = 0$

$-9y - 12 - y - 8 = 0$

$-10y - 20 = 0$

$y = -2$

$x = -3(-2) - 4 = 6 - 4 = 2$

よって、点 $B$ の座標は $(2, -2)$ です。

問題2(1)：点 $(x_0, y_0)$ と直線 $ax + by + c = 0$ の距離 $d$ は、

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ で求められます。

点 $(1, -1)$ と直線 $4x - 3y + 1 = 0$ の距離は、

$d = \frac{|4(1) - 3(-1) + 1|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{|4 + 3 + 1|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{8}{\sqrt{25}} = \frac{8}{5}$

問題2(2)：原点 $(0, 0)$ と直線 $y = 2x - 10$ の距離を求めます。直線の式を $2x - y - 10 = 0$ と変形します。

$d = \frac{|2(0) - (0) - 10|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|-10|}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{10}{\sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

問題1：点Bの座標は $(2, -2)$

問題2(1)：距離は $\frac{8}{5}$

問題2(2)：距離は $2\sqrt{5}$