2つの直線 $x + 3y - 1 = 0$ と $x + y + 5 = 0$ の交点と、点 $(-3, 1)$ を通る直線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

2つの直線 $x + 3y - 1 = 0$ と $x + y + 5 = 0$ の交点と、点 $(-3, 1)$ を通る直線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 2つの直線の交点の座標を求めます。連立方程式を解きます。

$x + 3y - 1 = 0$ ...(1)

$x + y + 5 = 0$ ...(2)

(1) - (2) を計算すると、

$2y - 6 = 0$

$2y = 6$

$y = 3$

$y = 3$ を (2) に代入すると、

$x + 3 + 5 = 0$

$x + 8 = 0$

$x = -8$

したがって、2つの直線の交点の座標は $(-8, 3)$ です。

(2) 求める直線は、点 $(-8, 3)$ と点 $(-3, 1)$ を通ります。2点を通る直線の傾きを計算します。

傾き $m = \frac{1 - 3}{-3 - (-8)} = \frac{-2}{5} = -\frac{2}{5}$

(3) 求める直線の方程式を $y = mx + b$ の形で表します。傾き $m = -\frac{2}{5}$ と、点 $(-3, 1)$ を通ることから、

$1 = -\frac{2}{5} (-3) + b$

$1 = \frac{6}{5} + b$

$b = 1 - \frac{6}{5} = -\frac{1}{5}$

したがって、求める直線の方程式は $y = -\frac{2}{5}x - \frac{1}{5}$ です。

(4) 両辺に5を掛けて整理すると、

$5y = -2x - 1$

$2x + 5y + 1 = 0$

3. 最終的な答え

$2x + 5y + 1 = 0$