周囲の長さが4である長方形のうち、対角線が最も短くなる長方形を求める問題です。

1. 問題の内容

周囲の長さが4である長方形のうち、対角線が最も短くなる長方形を求める問題です。

2. 解き方の手順

長方形の縦の長さを $x$、横の長さを $y$ とします。

周囲の長さが4なので、以下の式が成り立ちます。

$2x + 2y = 4$

この式を $y$ について解くと、

$y = 2 - x$

となります。

長方形の対角線の長さを $d$ とすると、ピタゴラスの定理より、

$d^2 = x^2 + y^2$

$y = 2 - x$ を代入すると、

$d^2 = x^2 + (2 - x)^2$

$d^2 = x^2 + 4 - 4x + x^2$

$d^2 = 2x^2 - 4x + 4$

対角線の長さ $d$ が最小となるのは、$d^2$ が最小となるときです。

$d^2 = 2x^2 - 4x + 4$ を $x$ について平方完成します。

$d^2 = 2(x^2 - 2x) + 4$

$d^2 = 2(x^2 - 2x + 1 - 1) + 4$

$d^2 = 2((x - 1)^2 - 1) + 4$

$d^2 = 2(x - 1)^2 - 2 + 4$

$d^2 = 2(x - 1)^2 + 2$

$d^2$ が最小になるのは、$x = 1$ のときで、このとき $d^2 = 2$ となります。

$x = 1$ のとき、$y = 2 - x = 2 - 1 = 1$ となります。

したがって、対角線が最も短い長方形は、縦の長さも横の長さも1の正方形です。

3. 最終的な答え

縦の長さ1、横の長さ1の正方形