正方形ABCDにおいて、点PはCを出発して辺CB上をBまで、点Qは点Pと同時にCを出発してPと同じ速さで辺CD上をDまで動きます。正方形の辺の長さが10cmのとき、三角形APQの面積が40cm²となるのは、点PがCから何cm動いたときか求めなさい。

1. 問題の内容

正方形ABCDにおいて、点PはCを出発して辺CB上をBまで、点Qは点Pと同時にCを出発してPと同じ速さで辺CD上をDまで動きます。正方形の辺の長さが10cmのとき、三角形APQの面積が40cm²となるのは、点PがCから何cm動いたときか求めなさい。

2. 解き方の手順

点Pと点QがCから動いた距離を$x$ cmとします。

すると、BC = CD = 10cmなので、

BP = DQ = $(10-x)$ cmとなります。

正方形ABCDの面積は$10 \times 10 = 100$ cm²です。

三角形APQの面積は、正方形ABCDの面積から、三角形ABP, 三角形PCQ, 三角形ADQの面積を引いたものと考えることができます。

三角形ABPの面積は、$\frac{1}{2} \times AB \times BP = \frac{1}{2} \times 10 \times (10-x) = 5(10-x) = 50-5x$ cm²です。

三角形PCQの面積は、$\frac{1}{2} \times PC \times CQ = \frac{1}{2} \times x \times x = \frac{1}{2}x^2$ cm²です。

三角形ADQの面積は、$\frac{1}{2} \times AD \times DQ = \frac{1}{2} \times 10 \times (10-x) = 5(10-x) = 50-5x$ cm²です。

したがって、三角形APQの面積は、

$100 - (50-5x) - \frac{1}{2}x^2 - (50-5x) = 100 - 50 + 5x - \frac{1}{2}x^2 - 50 + 5x = 10x - \frac{1}{2}x^2$ cm²です。

問題文より、三角形APQの面積は40cm²なので、

$10x - \frac{1}{2}x^2 = 40$

これを解くと、

$20x - x^2 = 80$

$x^2 - 20x + 80 = 0$

解の公式より、

$x = \frac{-(-20) \pm \sqrt{(-20)^2 - 4 \times 1 \times 80}}{2 \times 1} = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 320}}{2} = \frac{20 \pm \sqrt{80}}{2} = \frac{20 \pm 4\sqrt{5}}{2} = 10 \pm 2\sqrt{5}$

ここで、$2\sqrt{5} = \sqrt{20} \approx \sqrt{16}=4$ なので、$x \approx 10 \pm 4 = 6$ or $14$ となります。

点Pと点Qは辺上を動くので、$0 \le x \le 10$を満たす必要があります。したがって、$x = 10 + 2\sqrt{5}$は不適です。

よって、$x = 10 - 2\sqrt{5}$ cmです。

3. 最終的な答え

点PがCから$(10 - 2\sqrt{5})$cm動いたとき、三角形APQの面積は40cm²になります。