与えられた3つの三角関数の式をそれぞれ簡単にせよ。 (1) $\{sin(90^\circ - A) tan A - cos(90^\circ - A) tan(90^\circ - A)\}^2 + 2 sin A sin(90^\circ - A)$ (2) $(sin 40^\circ + cos 40^\circ)^2 + (sin 50^\circ - cos 50^\circ)^2$ (3) $sin 35^\circ cos 35^\circ (tan 35^\circ + tan 55^\circ)$

1. 問題の内容

与えられた3つの三角関数の式をそれぞれ簡単にせよ。

(1) $\{sin(90^\circ - A) tan A - cos(90^\circ - A) tan(90^\circ - A)\}^2 + 2 sin A sin(90^\circ - A)$

(2) $(sin 40^\circ + cos 40^\circ)^2 + (sin 50^\circ - cos 50^\circ)^2$

(3) $sin 35^\circ cos 35^\circ (tan 35^\circ + tan 55^\circ)$

2. 解き方の手順

(1)

$sin(90^\circ - A) = cos A$, $cos(90^\circ - A) = sin A$, $tan(90^\circ - A) = \frac{1}{tan A}$ を用いて式を整理する。

$\{cos A tan A - sin A \frac{1}{tan A}\}^2 + 2 sin A cos A$

$= \{cos A \frac{sin A}{cos A} - sin A \frac{cos A}{sin A}\}^2 + 2 sin A cos A$

$= (sin A - cos A)^2 + 2 sin A cos A$

$= sin^2 A - 2 sin A cos A + cos^2 A + 2 sin A cos A$

$= sin^2 A + cos^2 A$

$= 1$

(2)

$(sin 40^\circ + cos 40^\circ)^2 + (sin 50^\circ - cos 50^\circ)^2$

$= sin^2 40^\circ + 2 sin 40^\circ cos 40^\circ + cos^2 40^\circ + sin^2 50^\circ - 2 sin 50^\circ cos 50^\circ + cos^2 50^\circ$

$= (sin^2 40^\circ + cos^2 40^\circ) + (sin^2 50^\circ + cos^2 50^\circ) + 2 sin 40^\circ cos 40^\circ - 2 sin 50^\circ cos 50^\circ$

$sin(90^\circ - x) = cos x$, $cos(90^\circ - x) = sin x$ を用いると、$sin 50^\circ = cos 40^\circ$, $cos 50^\circ = sin 40^\circ$となるので、

$= 1 + 1 + 2 sin 40^\circ cos 40^\circ - 2 cos 40^\circ sin 40^\circ$

$= 2$

(3)

$sin 35^\circ cos 35^\circ (tan 35^\circ + tan 55^\circ)$

$= sin 35^\circ cos 35^\circ (\frac{sin 35^\circ}{cos 35^\circ} + \frac{sin 55^\circ}{cos 55^\circ})$

$= sin 35^\circ cos 35^\circ (\frac{sin 35^\circ}{cos 35^\circ} + \frac{cos 35^\circ}{sin 35^\circ})$

$= sin 35^\circ cos 35^\circ (\frac{sin^2 35^\circ + cos^2 35^\circ}{cos 35^\circ sin 35^\circ})$

$= sin 35^\circ cos 35^\circ (\frac{1}{cos 35^\circ sin 35^\circ})$

$= 1$

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) 2

(3) 1