不等式 $\sqrt{3x-1} > 2(x-1)$ を解く問題です。

1. 問題の内容

不等式 $\sqrt{3x-1} > 2(x-1)$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、根号の中身が0以上である必要があります。したがって、$3x-1 \ge 0$ より、$x \ge \frac{1}{3}$ です。

次に、両辺を2乗します。

$(\sqrt{3x-1})^2 > (2(x-1))^2$

$3x-1 > 4(x^2 - 2x + 1)$

$3x-1 > 4x^2 - 8x + 4$

$0 > 4x^2 - 11x + 5$

$4x^2 - 11x + 5 < 0$

この2次不等式を解くために、まず$4x^2 - 11x + 5 = 0$ の解を求めます。解の公式を用いると、

$x = \frac{-(-11) \pm \sqrt{(-11)^2 - 4(4)(5)}}{2(4)}$

$x = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 80}}{8}$

$x = \frac{11 \pm \sqrt{41}}{8}$

したがって、$4x^2 - 11x + 5 < 0$ の解は

$\frac{11 - \sqrt{41}}{8} < x < \frac{11 + \sqrt{41}}{8}$

ここで、$x \ge \frac{1}{3}$ であることを考慮します。$\frac{1}{3} = \frac{8}{24}$ であり、$\frac{11 - \sqrt{41}}{8}$ が $\frac{1}{3}$ より大きいかどうかを調べます。$\frac{11 - \sqrt{41}}{8} > \frac{1}{3}$ と仮定すると、$3(11 - \sqrt{41}) > 8$ となり、$33 - 3\sqrt{41} > 8$、$25 > 3\sqrt{41}$、$625 > 9(41) = 369$ となり、これは正しいです。したがって、$\frac{11 - \sqrt{41}}{8} > \frac{1}{3}$ が成り立ちます。

よって、最終的な解は

$\frac{11 - \sqrt{41}}{8} < x < \frac{11 + \sqrt{41}}{8}$

3. 最終的な答え

$\frac{11 - \sqrt{41}}{8} < x < \frac{11 + \sqrt{41}}{8}$