以下の10個の指数不等式を解く問題です。 (1) $2^x > 16$ (2) $(\frac{1}{3})^x \geq \frac{1}{27}$ (3) $2^x < 2\sqrt{2}$ (4) $5^x > \frac{1}{\sqrt{5}}$ (5) $(\frac{1}{2})^x > \frac{1}{\sqrt[3]{16}}$ (6) $9^x < 27$ (7) $2^{2x-1} \leq \frac{1}{8}$ (8) $5^{-3x} \geq 5\sqrt{5}$ (9) $4^{1-2x} < \frac{1}{2}$ (10) $(\frac{1}{2})^{2x+3} < \sqrt{2}$

はい、承知いたしました。与えられた指数不等式の問題を解きます。

1. 問題の内容

以下の10個の指数不等式を解く問題です。

(1) $2^x > 16$

(2) $(\frac{1}{3})^x \geq \frac{1}{27}$

(3) $2^x < 2\sqrt{2}$

(4) $5^x > \frac{1}{\sqrt{5}}$

(5) $(\frac{1}{2})^x > \frac{1}{\sqrt[3]{16}}$

(6) $9^x < 27$

(7) $2^{2x-1} \leq \frac{1}{8}$

(8) $5^{-3x} \geq 5\sqrt{5}$

(9) $4^{1-2x} < \frac{1}{2}$

(10) $(\frac{1}{2})^{2x+3} < \sqrt{2}$

2. 解き方の手順

各不等式を解いていきます。指数を比較するために、両辺の底を揃えます。

(1) $2^x > 16$

$2^x > 2^4$

$x > 4$

(2) $(\frac{1}{3})^x \geq \frac{1}{27}$

$(\frac{1}{3})^x \geq (\frac{1}{3})^3$

$x \leq 3$ (底が1より小さいので不等号の向きが変わります)

(3) $2^x < 2\sqrt{2}$

$2^x < 2^1 \cdot 2^{\frac{1}{2}}$

$2^x < 2^{\frac{3}{2}}$

$x < \frac{3}{2}$

(4) $5^x > \frac{1}{\sqrt{5}}$

$5^x > 5^{-\frac{1}{2}}$

$x > -\frac{1}{2}$

(5) $(\frac{1}{2})^x > \frac{1}{\sqrt[3]{16}}$

$(\frac{1}{2})^x > \frac{1}{\sqrt[3]{2^4}}$

$(\frac{1}{2})^x > \frac{1}{2^{\frac{4}{3}}}$

$(\frac{1}{2})^x > (\frac{1}{2})^{\frac{4}{3}}$

$x < \frac{4}{3}$ (底が1より小さいので不等号の向きが変わります)

(6) $9^x < 27$

$(3^2)^x < 3^3$

$3^{2x} < 3^3$

$2x < 3$

$x < \frac{3}{2}$

(7) $2^{2x-1} \leq \frac{1}{8}$

$2^{2x-1} \leq 2^{-3}$

$2x-1 \leq -3$

$2x \leq -2$

$x \leq -1$

(8) $5^{-3x} \geq 5\sqrt{5}$

$5^{-3x} \geq 5^1 \cdot 5^{\frac{1}{2}}$

$5^{-3x} \geq 5^{\frac{3}{2}}$

$-3x \geq \frac{3}{2}$

$x \leq -\frac{1}{2}$

(9) $4^{1-2x} < \frac{1}{2}$

$(2^2)^{1-2x} < 2^{-1}$

$2^{2-4x} < 2^{-1}$

$2-4x < -1$

$-4x < -3$

$x > \frac{3}{4}$

(10) $(\frac{1}{2})^{2x+3} < \sqrt{2}$

$(\frac{1}{2})^{2x+3} < 2^{\frac{1}{2}}$

$(2^{-1})^{2x+3} < 2^{\frac{1}{2}}$

$2^{-2x-3} < 2^{\frac{1}{2}}$

$-2x-3 < \frac{1}{2}$

$-2x < \frac{7}{2}$

$x > -\frac{7}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $x > 4$

(2) $x \leq 3$

(3) $x < \frac{3}{2}$

(4) $x > -\frac{1}{2}$

(5) $x < \frac{4}{3}$

(6) $x < \frac{3}{2}$

(7) $x \leq -1$

(8) $x \leq -\frac{1}{2}$

(9) $x > \frac{3}{4}$

(10) $x > -\frac{7}{4}$