以下の小問に答えます。 (1) $ax^2 + 2ax + x + 2$ を因数分解する。 (2) 不等式 $-8 \le 3x - 5 \le 4$ を解く。また、$A = \{x | -8 \le 3x - 5 \le 4\}$, $B = \{x | x \ge a\}$ とするとき、$A \subset B$ となるような $a$ の値の範囲を求める。 (3) 2次関数 $f(x) = 2x^2 - 6x + a$ ($a$ は定数) について、$y = f(x)$ のグラフの軸と、$f(x)$ の最小値が $\frac{1}{2}$ であるときの $a$ の値を求める。 (4) $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ とする。$\cos \theta = -\frac{3}{5}$ のとき、$\sin \theta$ と $\tan \theta$ の値を求める。 (5) 箱ひげ図から四分位範囲を求め、箱ひげ図から読み取れる内容として正しいものを選択肢から選ぶ。

はい、数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

以下の小問に答えます。

(1) $ax^2 + 2ax + x + 2$ を因数分解する。

(2) 不等式 $-8 \le 3x - 5 \le 4$ を解く。また、$A = \{x | -8 \le 3x - 5 \le 4\}$, $B = \{x | x \ge a\}$ とするとき、$A \subset B$ となるような $a$ の値の範囲を求める。

(3) 2次関数 $f(x) = 2x^2 - 6x + a$ ($a$ は定数) について、$y = f(x)$ のグラフの軸と、$f(x)$ の最小値が $\frac{1}{2}$ であるときの $a$ の値を求める。

(4) $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ とする。$\cos \theta = -\frac{3}{5}$ のとき、$\sin \theta$ と $\tan \theta$ の値を求める。

(5) 箱ひげ図から四分位範囲を求め、箱ひげ図から読み取れる内容として正しいものを選択肢から選ぶ。

2. 解き方の手順

(1) 因数分解：

$ax^2 + 2ax + x + 2 = ax(x+2) + (x+2) = (ax+1)(x+2)$

(2) 不等式：

$-8 \le 3x - 5 \le 4$

$-8 + 5 \le 3x \le 4 + 5$

$-3 \le 3x \le 9$

$-1 \le x \le 3$

$A = \{x | -1 \le x \le 3\}$

$A \subset B$ となるためには、$a \le -1$ であればよい。

(3) 2次関数：

$f(x) = 2x^2 - 6x + a = 2(x^2 - 3x) + a = 2\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 - 2\left(\frac{3}{2}\right)^2 + a = 2\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{9}{2} + a$

軸は $x = \frac{3}{2}$

最小値は $-\frac{9}{2} + a = \frac{1}{2}$

$a = \frac{1}{2} + \frac{9}{2} = \frac{10}{2} = 5$

(4) 三角比：

$\cos \theta = -\frac{3}{5}$

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

$\sin^2 \theta = 1 - \left(-\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ より、$\sin \theta \ge 0$ なので、$\sin \theta = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}} = -\frac{4}{3}$

(5) 箱ひげ図：

四分位範囲は $Q_3 - Q_1 = 77 - 55 = 22$ (点)

選択肢の確認：

1. 40点以上50点未満の生徒はちょうど6人いる：箱ひげ図から正確な人数は不明。

2. 50点以上の生徒は18人以上いる：24人のうち、中央値(67点)以上は少なくとも半分なので12人以上。50点以上はそのもっと多い人数となるはず。

3. 70点以上の生徒は12人以上いる：77点以上は1/4の6人以上。70点以上はもっと多い。

4. 80点以上の生徒はちょうど6人いる：箱ひげ図から正確な人数は不明。

中央値は67点なので12人以上が67点以上、第一四分位点は55点なので18人が55点以上いることがわかる。 よって、50点以上の生徒は18人以上いるという選択肢2が最も可能性が高い。

3. 最終的な答え

(ア) $(ax+1)(x+2)$

(イ) $-1 \le x \le 3$

(ウ) $a \le -1$

(エ) $\frac{3}{2}$

(オ) $5$

(カ) $\frac{4}{5}$

(キ) $-\frac{4}{3}$

(ク) $22$

(ケ) $2$