複素数平面上に3点O(0), A(2-i), Bがある。三角形OABがBを直角の頂点とする直角二等辺三角形となるとき、点Bを表す複素数を求めよ。

1. 問題の内容

複素数平面上に3点O(0), A(2-i), Bがある。三角形OABがBを直角の頂点とする直角二等辺三角形となるとき、点Bを表す複素数を求めよ。

2. 解き方の手順

三角形OABがBを直角の頂点とする直角二等辺三角形であることから、以下の2つの条件が成り立つ。

(1) $\angle OBA = 90^\circ$

(2) $OB = BA$

点Bを表す複素数を$z$とする。

(1) より、ベクトル$\overrightarrow{BO}$を$\frac{\pi}{2}$回転させると$\overrightarrow{BA}$と平行になる。これは、複素数平面上で考えると、$\frac{z-0}{z-(2-i)}$が純虚数であることを意味する。つまり、

$$\frac{z}{z - (2 - i)} = ki$$

（kは実数）と表される。

(2) より、$|z-0| = |(2-i)-z|$である。

$$|z| = |2-i-z|$$

両辺を2乗すると、

$$|z|^2 = |2-i-z|^2$$

ここで、$z=x+yi$ ($x$, $y$は実数)とすると、

$$x^2+y^2 = (2-x)^2 + (-1-y)^2$$

$$x^2+y^2 = 4-4x+x^2 + 1+2y+y^2$$

$$0 = 5-4x+2y$$

$$4x - 2y = 5$$

$$y = 2x - \frac{5}{2}$$

$\frac{z-0}{z-(2-i)} = \frac{x+yi}{(x-2)+(y+1)i} = ki$より、$x+yi = ki((x-2)+(y+1)i) = ki(x-2) + k i^2 (y+1) = -k(y+1) + ki(x-2)$

実部と虚部を比較して、

$x = -k(y+1)$

$y = k(x-2)$

$k = \frac{y}{x-2}$

$x = -\frac{y}{x-2}(y+1)$

$x(x-2) = -y(y+1)$

$x^2 - 2x = -y^2 - y$

$x^2 - 2x + y^2 + y = 0$

$x^2 - 2x + (2x-\frac{5}{2})^2 + (2x-\frac{5}{2}) = 0$

$x^2 - 2x + 4x^2 - 10x + \frac{25}{4} + 2x - \frac{5}{2} = 0$

$5x^2 - 10x + \frac{15}{4} = 0$

$20x^2 - 40x + 15 = 0$

$4x^2 - 8x + 3 = 0$

$(2x-1)(2x-3) = 0$

$x = \frac{1}{2}, \frac{3}{2}$

$x = \frac{1}{2}$のとき、$y = 2(\frac{1}{2}) - \frac{5}{2} = 1 - \frac{5}{2} = -\frac{3}{2}$

$x = \frac{3}{2}$のとき、$y = 2(\frac{3}{2}) - \frac{5}{2} = 3 - \frac{5}{2} = \frac{1}{2}$

したがって、$z = \frac{1}{2} - \frac{3}{2}i$ または $z = \frac{3}{2} + \frac{1}{2}i$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} - \frac{3}{2}i$、$\frac{3}{2} + \frac{1}{2}i$