$\int \sin 2x \cos 4x dx$ を計算してください。

1. 問題の内容

$\int \sin 2x \cos 4x dx$ を計算してください。

2. 解き方の手順

積和の公式を利用します。

$\sin A \cos B = \frac{1}{2} \{ \sin(A+B) + \sin(A-B) \}$

この公式に、$A = 2x$、$B = 4x$ を代入すると、

$\sin 2x \cos 4x = \frac{1}{2} \{ \sin(2x+4x) + \sin(2x-4x) \} = \frac{1}{2} \{ \sin(6x) + \sin(-2x) \}$

$\sin(-2x) = -\sin(2x)$ なので、

$\sin 2x \cos 4x = \frac{1}{2} \{ \sin 6x - \sin 2x \}$

したがって、

$\int \sin 2x \cos 4x dx = \int \frac{1}{2} (\sin 6x - \sin 2x) dx = \frac{1}{2} \int (\sin 6x - \sin 2x) dx$

$\int \sin 6x dx = -\frac{1}{6} \cos 6x + C_1$

$\int \sin 2x dx = -\frac{1}{2} \cos 2x + C_2$

したがって、

$\int \sin 2x \cos 4x dx = \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{6} \cos 6x + \frac{1}{2} \cos 2x \right) + C = -\frac{1}{12} \cos 6x + \frac{1}{4} \cos 2x + C$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{12} \cos 6x + \frac{1}{4} \cos 2x + C$