関数 $y = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

$y$ を微分するために、商の微分法則を用いる。商の微分法則とは、関数 $u(x)$ と $v(x)$ があるとき、$\frac{u(x)}{v(x)}$ の微分は以下のようになる。

$\frac{d}{dx} \left( \frac{u(x)}{v(x)} \right) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2}$

この問題では、$u(x) = e^x - e^{-x}$ および $v(x) = e^x + e^{-x}$ である。

まず、$u(x)$ と $v(x)$ の導関数を計算する。

$u'(x) = \frac{d}{dx} (e^x - e^{-x}) = e^x - (-1)e^{-x} = e^x + e^{-x}$

$v'(x) = \frac{d}{dx} (e^x + e^{-x}) = e^x + (-1)e^{-x} = e^x - e^{-x}$

次に、商の微分法則を用いて $y$ の導関数を計算する。

$\frac{dy}{dx} = \frac{(e^x + e^{-x})(e^x + e^{-x}) - (e^x - e^{-x})(e^x - e^{-x})}{(e^x + e^{-x})^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{(e^x + e^{-x})^2 - (e^x - e^{-x})^2}{(e^x + e^{-x})^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{(e^{2x} + 2e^x e^{-x} + e^{-2x}) - (e^{2x} - 2e^x e^{-x} + e^{-2x})}{(e^x + e^{-x})^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{(e^{2x} + 2 + e^{-2x}) - (e^{2x} - 2 + e^{-2x})}{(e^x + e^{-x})^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{4}{(e^x + e^{-x})^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{4}{(e^x + e^{-x})^2}$