A, B, C, D, Eの5人の名刺がそれぞれ別の封筒に入っている。この5人がそれぞれ封筒を1つ選ぶ時、以下の確率を求めよ。 (1) 5人とも他の人の名刺が入った封筒を選ぶ確率 (2) ちょうど2人だけ自分の名刺が入った封筒を選ぶ確率

1. 問題の内容

A, B, C, D, Eの5人の名刺がそれぞれ別の封筒に入っている。この5人がそれぞれ封筒を1つ選ぶ時、以下の確率を求めよ。

(1) 5人とも他の人の名刺が入った封筒を選ぶ確率

(2) ちょうど2人だけ自分の名刺が入った封筒を選ぶ確率

2. 解き方の手順

(1) 5人とも他の人の名刺が入った封筒を選ぶ確率（完全順列の問題）

5人の並び方は全部で $5! = 120$ 通りある。

5人の完全順列の数を求める。

完全順列の公式を利用して計算する。5人の完全順列の数は

$5! (1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \frac{1}{5!}) = 120(1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} - \frac{1}{120}) = 60 - 20 + 5 - 1 = 44$通り。

したがって、確率は $\frac{44}{120} = \frac{11}{30}$ となる。

(2) ちょうど2人だけ自分の名刺が入った封筒を選ぶ確率

まず、5人の中から自分の名刺が入った封筒を選ぶ2人を決める組み合わせは $\binom{5}{2} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通り。

残りの3人は自分の名刺が入っていない封筒を選ぶ必要がある。これは3人の完全順列となる。

3人の完全順列の数は $3! (1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!}) = 6 (1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6}) = 3 - 1 = 2$ 通り。

したがって、ちょうど2人だけ自分の名刺が入った封筒を選ぶ場合の数は $10 \times 2 = 20$ 通り。

確率は $\frac{20}{120} = \frac{1}{6}$ となる。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{11}{30}$

(2) $\frac{1}{6}$