1つのサイコロを3回続けて投げ、出た目を順に $a_1$, $a_2$, $a_3$ とする。 (1) $a_1 < a_2 < a_3$ となる目の出方は何通りあるか。 (2) $a_1 \le a_2 \le a_3$ となる目の出方は何通りあるか。

1. 問題の内容

1つのサイコロを3回続けて投げ、出た目を順に $a_1$, $a_2$, $a_3$ とする。

(1) $a_1 < a_2 < a_3$ となる目の出方は何通りあるか。

(2) $a_1 \le a_2 \le a_3$ となる目の出方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) $a_1, a_2, a_3$ はすべて異なる数で、$1 \le a_1 < a_2 < a_3 \le 6$ を満たす。

これは1から6までの6個の数字の中から、異なる3個の数字を選ぶ組み合わせの数に等しい。

したがって、組み合わせの数は

$_{6}C_{3} = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ 通り

(2) $a_1, a_2, a_3$ は同じ数を含んでいても良く、$1 \le a_1 \le a_2 \le a_3 \le 6$ を満たす。

これは重複を許して6個の数字の中から3個の数字を選ぶ組み合わせの問題である。

具体的には、1から6の数字から重複を許して3つ選ぶことを考える。

これは、$x_i$ を数字 $i$ が選ばれる回数とすると、

$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 3$ かつ $x_i \ge 0$ となる整数の組 $(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6)$ の数を求める問題と同じである。

これは「仕切り」を用いた重複組み合わせの問題である。

全部で3個の球と5個の仕切りを並べる並べ方の総数なので、

$_{3+6-1}C_{3} = _{8}C_{3} = \frac{(3+5)!}{3!5!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$ 通り

3. 最終的な答え

(1) 20通り

(2) 56通り